高中数学自主招生不等式 求教
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/23 22:18:21
高中数学自主招生不等式 求教
x,y,z归属于R+ x+y+z=1 x^4/[y(1-y^2)]+y^4/[z(1-z^2)]+z^4/[x(1-x^2)]的最小值
x,y,z归属于R+ x+y+z=1 x^4/[y(1-y^2)]+y^4/[z(1-z^2)]+z^4/[x(1-x^2)]的最小值
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教你个添项配凑法
x^4/[y(1-y^2)]+(9/64)y(1-y²)+y^4/[z(1-z^2)]+(9/64)z(1-z²)+z^4/[x(1-x^2)]+(9/64)x(1-x²)
≥(6/8)x²+(6/8)y²+(6/8)z²
于是原式≥(6/8)(x²+y²+z²)+(9/64)[-(x+y+z)+(x³+y³+z³)]
=(6/8)(x²+y²+z²)+(9/64)[-1+(x³+y³+z³)]
因为x²+y²+z²≥(1/3)(x+y+z)²=1/3
x³+y³+z³≥(1/9)(x+y+z)³=1/9
所以(6/8)(x²+y²+z²)+(9/64)[-1+(x³+y³+z³)]
≥(6/8)(1/3)+(9/64)[-1+(1/9)]
=(2/8)-(1/8)=1/8
以上等号成立条件均为x=y=z=1/3
于是原式≥1/8
【至于添项配凑法技巧,你可以去网上收收看,可以练习练习】
x^4/[y(1-y^2)]+(9/64)y(1-y²)+y^4/[z(1-z^2)]+(9/64)z(1-z²)+z^4/[x(1-x^2)]+(9/64)x(1-x²)
≥(6/8)x²+(6/8)y²+(6/8)z²
于是原式≥(6/8)(x²+y²+z²)+(9/64)[-(x+y+z)+(x³+y³+z³)]
=(6/8)(x²+y²+z²)+(9/64)[-1+(x³+y³+z³)]
因为x²+y²+z²≥(1/3)(x+y+z)²=1/3
x³+y³+z³≥(1/9)(x+y+z)³=1/9
所以(6/8)(x²+y²+z²)+(9/64)[-1+(x³+y³+z³)]
≥(6/8)(1/3)+(9/64)[-1+(1/9)]
=(2/8)-(1/8)=1/8
以上等号成立条件均为x=y=z=1/3
于是原式≥1/8
【至于添项配凑法技巧,你可以去网上收收看,可以练习练习】