搜狗做题网高手能不能帮我解决个矩阵的题目,或者给个提示方向什么的!
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/06/14 08:55:04
高手能不能帮我解决个矩阵的题目,或者给个提示方向什么的!
A是一个 n×n 的矩阵,假设A^2=0,证明rank(A)≤n/2
（提示：求出col(A)⊆null(A).)
怎么证明?
A是一个 n×n 的矩阵,假设A^2=0,证明rank(A)≤n/2
（提示：求出col(A)⊆null(A).)
怎么证明?
因为 AA = 0
所以 A 的列向量都是 AX=0 的解 (此即 col(A)⊆null(A) )
所以 r(A) ≤ n - r(A)
所以 2r(A) ≤ n
即得 r(A) ≤ n/2 #
有问题请消息我或追问!
再问： 不好意思哦~~不太明白 “A 的列向量都是 AX=0 的解 (此即 col(A)⊆null(A) )” 还有这里“r(A) ≤ n - r(A)“ 能不能详细说一下，或者是根据哪个定理的 我是国外的教科书，所以。。。。
再答： 记 A=(a1,a2,...,an) 则 AA = A(a1,...an) = (Aa1,...,Aan) = 0 所以 Aai = 0, i=1,2,...,n 所以 A 的列向量 ai 都是 AX=0 的解. AX=0 的基础解系含有 n - r(A) 个向量 (这是定理) AX = 0 的所有解都可由 其基础解系线性表示 (基础解系的要求) 所以解向量 a1,a2,...,an 可由 Ax=0 的基础解系线性表示. 所以 r(a1,a2,...,an)
所以 A 的列向量都是 AX=0 的解 (此即 col(A)⊆null(A) )
所以 r(A) ≤ n - r(A)
所以 2r(A) ≤ n
即得 r(A) ≤ n/2 #
有问题请消息我或追问!
再问： 不好意思哦~~不太明白 “A 的列向量都是 AX=0 的解 (此即 col(A)⊆null(A) )” 还有这里“r(A) ≤ n - r(A)“ 能不能详细说一下，或者是根据哪个定理的 我是国外的教科书，所以。。。。
再答： 记 A=(a1,a2,...,an) 则 AA = A(a1,...an) = (Aa1,...,Aan) = 0 所以 Aai = 0, i=1,2,...,n 所以 A 的列向量 ai 都是 AX=0 的解. AX=0 的基础解系含有 n - r(A) 个向量 (这是定理) AX = 0 的所有解都可由 其基础解系线性表示 (基础解系的要求) 所以解向量 a1,a2,...,an 可由 Ax=0 的基础解系线性表示. 所以 r(a1,a2,...,an)