搜狗做题网有关基本不等式的解题思路
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/12 08:27:02
有关基本不等式的解题思路
例如：已知abc均为正数,且a+b+c=1,求证4
例如：已知abc均为正数,且a+b+c=1,求证4
结合已知条件,根据各种不等式,去构想.这是熟能生巧的事.
一方面要一题一题地做清楚.另一方面要多做题,了解更多的题型.这题就已经是比较特殊的,特殊的就要注意多记记.另外,还要注意总归纳,说到底,方法和技巧还是有限的.
∵a、b、c均为正数,且a+b+c=1,
∴0b²,c>c²
√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)= √(2a+a+1)+√(2b+b+1)+√(2c+c+1)
> √(a²+2a+1)+√(b²+2b+1)+√(c²+2c+1)
=a+1+b+1+c+1=4;
另一方面,√(3a+1)•√2+√(3b+1)•√2+√(3c+1) •√2
≤((3a+1)+2)/2+((3b+1)+2)/2+((3c+1)+2)/2=(3a+3b+3c+9)/2=6
∴√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1) ≤3√2
综上知,4
再问： 不知道是不是能够给些特殊的方法，和需要记忆的东西呢？
再答： 给个题目你可以好好咀嚼。这是颗橄榄，只有慢才能体会个中之味。 已知a、b、c∈R，且ab+bc+ac=1，求证：根号a/bc+根号b/ac+根号c/ab≥根号3（根号a+根号b+根号c） a b c∈R+ ab+bc+ac=1 由柯西不等式（(a1)^2+(a2)^2+(a3)^2+……+(an)^2)((b1)^2+(b2)^2+(b3)^2+……+(bn)^2) ≥(a1b1+a2b2+a3b3+……+anbn)^2）,得： (根号a/bc+根号b/ac+根号c/ab)(根号abc+根号abc+根号abc)>=(根号a+根号b+根号c)^2………………………（1） 由均值不等式平方平均数>=调和平均数 [√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]>= n/(1/a1+1/a2+...+1/an)], 可知： 对于正实数x y z, (x^2+y^2+z^2)/3)^(1/2)>=3/(1/x+1/y+1/z) 即，1/x+1/y+1/z>=3/((x^2+y^2+z^2)/3)^(1/2)>=3根号3/根号(x^2+y^2+z^2) 所以有： (根号a+根号b+根号c)/根号abc=1/根号bc+1/根号ac+1/根号ab>=3根号3/根号(ab+bc+ca)=3根号3……………（2） 综合（1）、（2）可得： 根号a/bc+根号b/ac+根号c/ab>=(根号a+根号b+根号c)^2/(根号abc+根号abc+根号abc)……由（1）式得 =(根号a+根号b+根号c)(根号a+根号b+根号c)/3根号abc>=(根号a+根号b+根号c)*3根号3/3……由（2）式得 =根号3(根号a+根号b+根号c) 所以原不等式成立
再问： 谢谢，最近比较忙，周五在看吧。 帮我解决一道题：y=（x²+16）/（（根号下x²）+4）
再答： 做什么？ y=（x²+16）/（（根号下x²）+4）是分段函数 （根号下x²）要根据x的取值来讨论 x>0 x=0,无定义 x
一方面要一题一题地做清楚.另一方面要多做题,了解更多的题型.这题就已经是比较特殊的,特殊的就要注意多记记.另外,还要注意总归纳,说到底,方法和技巧还是有限的.
∵a、b、c均为正数,且a+b+c=1,
∴0b²,c>c²
√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)= √(2a+a+1)+√(2b+b+1)+√(2c+c+1)
> √(a²+2a+1)+√(b²+2b+1)+√(c²+2c+1)
=a+1+b+1+c+1=4;
另一方面,√(3a+1)•√2+√(3b+1)•√2+√(3c+1) •√2
≤((3a+1)+2)/2+((3b+1)+2)/2+((3c+1)+2)/2=(3a+3b+3c+9)/2=6
∴√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1) ≤3√2
综上知,4
再问： 不知道是不是能够给些特殊的方法，和需要记忆的东西呢？
再答： 给个题目你可以好好咀嚼。这是颗橄榄，只有慢才能体会个中之味。 已知a、b、c∈R，且ab+bc+ac=1，求证：根号a/bc+根号b/ac+根号c/ab≥根号3（根号a+根号b+根号c） a b c∈R+ ab+bc+ac=1 由柯西不等式（(a1)^2+(a2)^2+(a3)^2+……+(an)^2)((b1)^2+(b2)^2+(b3)^2+……+(bn)^2) ≥(a1b1+a2b2+a3b3+……+anbn)^2）,得： (根号a/bc+根号b/ac+根号c/ab)(根号abc+根号abc+根号abc)>=(根号a+根号b+根号c)^2………………………（1） 由均值不等式平方平均数>=调和平均数 [√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]>= n/(1/a1+1/a2+...+1/an)], 可知： 对于正实数x y z, (x^2+y^2+z^2)/3)^(1/2)>=3/(1/x+1/y+1/z) 即，1/x+1/y+1/z>=3/((x^2+y^2+z^2)/3)^(1/2)>=3根号3/根号(x^2+y^2+z^2) 所以有： (根号a+根号b+根号c)/根号abc=1/根号bc+1/根号ac+1/根号ab>=3根号3/根号(ab+bc+ca)=3根号3……………（2） 综合（1）、（2）可得： 根号a/bc+根号b/ac+根号c/ab>=(根号a+根号b+根号c)^2/(根号abc+根号abc+根号abc)……由（1）式得 =(根号a+根号b+根号c)(根号a+根号b+根号c)/3根号abc>=(根号a+根号b+根号c)*3根号3/3……由（2）式得 =根号3(根号a+根号b+根号c) 所以原不等式成立
再问： 谢谢，最近比较忙，周五在看吧。 帮我解决一道题：y=（x²+16）/（（根号下x²）+4）
再答： 做什么？ y=（x²+16）/（（根号下x²）+4）是分段函数 （根号下x²）要根据x的取值来讨论 x>0 x=0,无定义 x