如图,已知AO是四面体ABCD的高,M是AO的中点,连接BM、CM、DM.求证:BM、CM、DM两两垂直.
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/24 08:29:13
如图,已知AO是四面体ABCD的高,M是AO的中点,连接BM、CM、DM.求证:BM、CM、DM两两垂直.
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/58/35814dc2d6f2d3707b5a0da6beb92206.jpg)
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![如图,已知AO是四面体ABCD的高,M是AO的中点,连接BM、CM、DM.求证:BM、CM、DM两两垂直.](/uploads/image/z/18534488-32-8.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%EF%BC%8C%E5%B7%B2%E7%9F%A5AO%E6%98%AF%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93ABCD%E7%9A%84%E9%AB%98%EF%BC%8CM%E6%98%AFAO%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%EF%BC%8C%E8%BF%9E%E6%8E%A5BM%E3%80%81CM%E3%80%81DM%EF%BC%8E%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9ABM%E3%80%81CM%E3%80%81DM%E4%B8%A4%E4%B8%A4%E5%9E%82%E7%9B%B4%EF%BC%8E)
证明:∵AO是四面体ABCD的高,∴AO垂直于面ABCD.![](http://img.wesiedu.com/upload/5/d4/5d4d72ac0a486ebd0e46e63904968c44.jpg)
连接OB,OC,OD,则AO分别垂直于OB,OC,OD.
设正四面体ABCD的边长为a,
则AB=BC=CD=DA=a,OB=OC=OD=
3
3a,
OA2=AD2-OD2,
OA=
6a
3,OM=
6a
6,
BM2=OM2+OB2,BM=CM=DM=
2a
2,
在三角形MBC中,MB2+MC2=BC2,符合勾股定理,
∴△MBC为直角三角形,且∠CMB=90°,
同理得出,∠CMD=∠DMB=∠BMC=90°,
∴BM,CM,DM两两垂直.
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连接OB,OC,OD,则AO分别垂直于OB,OC,OD.
设正四面体ABCD的边长为a,
则AB=BC=CD=DA=a,OB=OC=OD=
3
3a,
OA2=AD2-OD2,
OA=
6a
3,OM=
6a
6,
BM2=OM2+OB2,BM=CM=DM=
2a
2,
在三角形MBC中,MB2+MC2=BC2,符合勾股定理,
∴△MBC为直角三角形,且∠CMB=90°,
同理得出,∠CMD=∠DMB=∠BMC=90°,
∴BM,CM,DM两两垂直.
如图,平行四边形ABCD对角线AC和BD相交于点O,M、N分别是AO、CO的中点,求证DN=BM
如图已知等腰梯形ABCD中,AD平行BC,M是AB的中点,DM垂直CM.求证:CD=AD+BC
如图,已知在梯形ABCD中,AD平行BC,M是AB的中点,DM垂直CM. 求证 CD等于AD加B
已知平行四边形ABCD,M是AB的中点,CM=DM,求证四边形ABCD是矩形
已知如图,等腰梯形ABCD中,M,N分别是两底AD,BC的中点,E,F分别是BM,CM的中点.求证:四边形MENF是菱形
已知,如图,等腰梯形ABCD中,M、N分别是两底AD、BC的中点,E、F分别是BM、CM的中点.求证:MENF是菱形
如图,在正方形ABCD中,M是AB上一点,且DM=BC+BM,N是BC的中点.求证:DN平分∠CDM
已知三角形ABC是等边三角形,D是AC的中点,CE=CD,DM垂直BE,求证:BM=EM
已知在直角三角形ABC、ADE中,AB=BC,AD=DE,连接EC,取EC中点M,连接BM和DM.求证BM等于垂直DM?
如图,已知梯形ABCD中,AB平行CD,M是AB的中点,且CM等于DM.求证梯形ABCD是等腰梯形
如图,已知M是Rt△ABC斜边AB的中点,CD=BM,DM与CB的延长线交于点E.
已知AD平行BC,CD垂直AD,但AM,BM,分别是角BAD,角ABC的平分线,求证角AMB=90度.{2}DM=CM.