一道概率论与数理统计的问题~.

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/05 11:59:23

一道概率论与数理统计的问题~.
设两个不同的电子元件的使用寿命分别为X,Y(以小时计) 且X与Y相互独立,其概率密度分别为
f(x)= 1000/x^2 (x>1000) 0 (其他)
f(y)=1000/y^2 (y>1000) 0 (其他)
求Z=X/Y的概率密度fz（z）

FZ(z)=P(Z<=z)=P(X<=zY)
f(x,y)=10^6 (xy)^(-2)
若x>y(z>1)
P(X<=zY)=10^6∫(1000~无穷)∫(1000~zy) (xy)^(-2) dxdy =10^6∫(1000~无穷)y^(-2)(1/1000-(zy)^(-1))dy =10^6∫(1000~无穷)-y^(-1)/1000+[z^(-1)(y)^(-2)]/2 dy =10^6(0+10^(-6)-(1000)^(-2)z^(-1)/2) =1-z^(-1)/2

x<y时有些不一样,y出现了高於1000的下限

若x<y (0<z<1)
P(X<=zY)=10^6∫(1000/z~无穷)∫(1000~zy) (xy)^(-2) dxdy               =10^6∫(1000/z~无穷)-y^(-1)/1000+[z^(-1)(y)^(-2)]/2 dy               =10^6(0+10^(-6)z-(1000/z)^(-2)z^(-1)/2)               =z/2

Fz(z)=1-z^(-1)/2   z>1
        =z/2            0<z<1
fz(z)=z^(-2)/2      z>1
       =1/2            0<z<1

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