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已知命题p:x1和x2是方程x2-mx-2=0的两个实根,不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1,1]

来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/24 11:21:32
已知命题p:x1和x2是方程x2-mx-2=0的两个实根,不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1,1]恒成立;命题q:不等式ax2+2x-1>0有解,若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求a的取值范围.
已知命题p:x1和x2是方程x2-mx-2=0的两个实根,不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1,1]
∵x1,x2是方程x2-mx-2=0的两个实根,
∴x1+x2=m,x1•x2=-2,
|x1-x2|=
(x1+x2)2−4x1x2=
m2+8,
∴当m∈[-1,1]时,|x1-x2|max=3.
由不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1,1]恒成立,
可得:a2-5a-3≥3;
∴a≥6或a≤-1;
∴命题p为真命题时a≥6或a≤-1,命题p为假命题时-1<a<6;
命题q:不等式ax2+2x-1>0有解,
①当a>0时,显然有解,
②当a=0时,2x-1>0有解,
③当a<0时,∵ax2+2x-1>0有解,
∴△=4+4a>0,∴-1<a<0;
从而命题p:不等式ax2+2x-1>0有解时a>-1
∴命题q是假命题时a>-1,命题q是假命题时a≤-1.
∵p∨q真,p∧q假,
∴p与q有且仅有一个为真.
(1)当命题p是真命题且命题q是假命题时a≤-1;
(2)当命题p是假命题且命题q是真命题时-1<a<6;
综上所述:a的取值范围为a<6.