已知圆O：x2+y2=1和点M（1，4）．

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：综合作业时间：2024/06/26 00:50:23

已知圆O：x²+y²=1和点M（1，4）．
（1）过点M向圆O引切线，求切线的方程；
（2）求以点M为圆心，且被直线y=2x-8截得的弦长为8的圆M的方程；
（3）设P为（2）中圆M上任意一点，过点P向圆O引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在一定点R，使得

（1）若过点M的直线斜率不存在，直线方程为：x=1，为圆O的切线； …（1分）
当切线l的斜率存在时，设直线方程为：y-4=k（x-1），即kx-y-k+4=0，
∴圆心O到切线的距离为：
|−k+4|

k2+1＝1，解得：k＝
15
8
∴直线方程为：15x-8y+17=0．
综上，切线的方程为：x=1或15x-8y+17=0…（4分）
（2）点M（1，4）到直线2x-y-8=0的距离为：d＝
|2−4−8|

5＝2
5，
又∵圆被直线y=2x-8截得的弦长为8，
∴r＝
(2
5)2+42＝6…（7分）
∴圆M的方程为：（x-1）²+（y-4）²=36…（8分）
（3）假设存在定点R，使得
PQ
PR为定值，设R（a，b），P（x，y），
PQ2
PR2＝λ
∵点P在圆M上，∴（x-1）²+（y-4）²=36，则x²+y²=2x+8y+19…（10分）
∵PQ为圆O的切线，∴OQ⊥PQ，
∴PQ²=PO²-1=x²+y²-1，PR²=（x-a）²+（y-b）²，
∴x²+y²-1=λ[（x-a）²+（y-b）²]，即2x+8y+19-1=λ（2x+8y+19-2ax-2by+a²+b²）
整理得：（2-2λ+2aλ）x+（8-8λ+2bλ）y+（18-19λ-a²λ-b²λ）=0（*）
若使（*）对任意x，y恒成立，则

已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切．已知直线l:y=2x+m（m>0）与圆O:x2+y2=4相切,且过椭圆:（y2/a2）+（x2/b2）=1（a>b>0）已知点A（0，1）和圆x2+y2=4上一动点P，动点M满足MA＝2AP，则点M的轨迹方程是（　　）已知点P（5，0）和圆O：x2+y2=16，过P任意作直线l与圆O交于A、B两点，求弦AB中点M轨迹方程．已知点M（1，3），自点M向圆x2+y2=1引切线，则切线方程是______．已知圆O：x2+y2=5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积=______．已知点O是原点，直线y=kx+b与圆x2+y2=83相交于两点M，N．若b2=2（k2+1），则OM•ON=（　　）在平面直角坐标系xoy中,已知圆0：x2十y2=16,点p(1,2),M,N为圆O上不同的两已知m∈R，直线l：mx-（m2+1）y=4m和圆C：x2+y2-8x+4y+16=0．已知圆O的方程为x2+y2=1,直线l1过点A(3,0),且与圆O相切. 已知圆O的方程为x2+y2=1,直线l1过点A 已知：（x2+y2+1）2-4=0，则x2+y2=______．已知椭圆Rx2/a2+y2/b2=1的右焦点F,y轴右侧的点A在椭圆E上运动,直线MA与圆O,x2+y2=b2相切于点M