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若不等式x2+2xy≤a(x2+y2)对于一切正数x,y恒成立,则实数a的最小值为(  )

来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/14 06:24:50
若不等式x2+2xy≤a(x2+y2)对于一切正数x,y恒成立,则实数a的最小值为(  )
A. 2
B.
2
+1
2
若不等式x2+2xy≤a(x2+y2)对于一切正数x,y恒成立,则实数a的最小值为(  )
∵x>0,y>0,
∴x2+2xy≤a(x2+y2))⇔2xy≤(a-1)x2+ay2⇔(a-1)(
x
y)2-2×
x
y+a≥0,
令t=
x
y(t>0),f(t)=(a-1)t2-2t+a,
依题意,

a−1>0
f(
1
a−1)≥0即

a>1
a−
1
a−1≥0,解得a≥

5+1
2.
∴实数a的最小值为

5+1
2.
故选D.