搜狗做题网已知函数f（x）=|logax|．
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/06/25 08:26:20
已知函数f（x）=|logax|．
（1）当a=2时，求函数f（x）-3的零点；
（2）若存在互不相等的正实数m，n，使f（m）=f（n），判断函数g（x）=mx+nx-1的奇偶性，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若m＞n，当x＞m时，求函数y=logmxlognx+logmx的值域．
（1）当a=2时，求函数f（x）-3的零点；
（2）若存在互不相等的正实数m，n，使f（m）=f（n），判断函数g（x）=mx+nx-1的奇偶性，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若m＞n，当x＞m时，求函数y=logmxlognx+logmx的值域．
（1）当a=2时，
令f（x）-3=0得log2x=3或log2x=-3；
所以x=8或x＝
1
8
所以函数f（x）-3的零点为8或
1
8
（2）因为f（m）=f（n）
所以logam=logan或logam=-logan
所以m=n（舍去）或m＝
1
n
因为g（x）=mx+（m-1）x-1=mx+m-x-1且定义域为R
所以g（-x）=m-x+mx-1=g（x）
所以g（x）为偶函数
（3）由（2）得m＝
1
n
y＝logmxlogm−1x+logmx
＝−logm2x+logmx
＝−(logmx−
1
2)2+
1
4
因为x＞m＞n，所以m＞1
所以logmx＞1
所以ymax＜0
所以g（x）的值域为（-∞，0）
令f（x）-3=0得log2x=3或log2x=-3；
所以x=8或x＝
1
8
所以函数f（x）-3的零点为8或
1
8
（2）因为f（m）=f（n）
所以logam=logan或logam=-logan
所以m=n（舍去）或m＝
1
n
因为g（x）=mx+（m-1）x-1=mx+m-x-1且定义域为R
所以g（-x）=m-x+mx-1=g（x）
所以g（x）为偶函数
（3）由（2）得m＝
1
n
y＝logmxlogm−1x+logmx
＝−logm2x+logmx
＝−(logmx−
1
2)2+
1
4
因为x＞m＞n，所以m＞1
所以logmx＞1
所以ymax＜0
所以g（x）的值域为（-∞，0）