设f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n,使等式f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n)+n=g(n)f(n
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/14 20:37:56
设f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n,使等式f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n)+n=g(n)f(n)成立的g(n)是?
当n=1时
f(1)+1=g(1)f(1)
代入f(1)=1得
1+1=g(1)
g(1)=2
当n=2时
f(1)+f(2)+2=g(2)f(2)
代入f(1)=1,f(2)=3/2得
1+3/2+2=g(2)*3/2
g(2)=3
当n=3时
f(1)+f(2)+f(3)+3=g(3)f(3)
代入f(1)=1,f(2)=3/2,f(3)=11/6得
1+3/2+11/6+3=g(3)*11/6
g(3)=4
因此可猜测g(n)=n+1,下面用数学归纳法证明这个猜测:
当n=1时之前已证实g(n)=n+1成立
假设g(k)=k+1成立,只需证明g(k+1)=k+2成立即可
f(1)+f(2)+f(3)+...+f(k)+k=g(k)f(k)
f(1)+f(2)+f(3)+...+f(k+1)+k+1=g(k+1)f(k+1)
两式想减得
f(k+1)+1=g(k+1)f(k+1)-g(k)f(k)
f(k+1)g(k+1)=f(k+1)+1+g(k)f(k)
=f(k+1)+1+(k+1)f(k)
代入f(k+1)=f(k)+1/(k+1)得
(f(k)+1/(k+1))g(k+1)=f(k)+1/(k+1)+1+(k+1)f(k)
((k+1)f(k)+1)g(k+1)=(k+1)f(k)+1+k+1+(k+1)²f(k)
=(k+1)(k+2)f(k)+k+2
=(k+2)((k+1)f(k)+1)
显然(k+1)f(k)+1>0
所以g(k+1)=k+2,得证
所以由数学归纳法可得g(n)=n+1
f(1)+1=g(1)f(1)
代入f(1)=1得
1+1=g(1)
g(1)=2
当n=2时
f(1)+f(2)+2=g(2)f(2)
代入f(1)=1,f(2)=3/2得
1+3/2+2=g(2)*3/2
g(2)=3
当n=3时
f(1)+f(2)+f(3)+3=g(3)f(3)
代入f(1)=1,f(2)=3/2,f(3)=11/6得
1+3/2+11/6+3=g(3)*11/6
g(3)=4
因此可猜测g(n)=n+1,下面用数学归纳法证明这个猜测:
当n=1时之前已证实g(n)=n+1成立
假设g(k)=k+1成立,只需证明g(k+1)=k+2成立即可
f(1)+f(2)+f(3)+...+f(k)+k=g(k)f(k)
f(1)+f(2)+f(3)+...+f(k+1)+k+1=g(k+1)f(k+1)
两式想减得
f(k+1)+1=g(k+1)f(k+1)-g(k)f(k)
f(k+1)g(k+1)=f(k+1)+1+g(k)f(k)
=f(k+1)+1+(k+1)f(k)
代入f(k+1)=f(k)+1/(k+1)得
(f(k)+1/(k+1))g(k+1)=f(k)+1/(k+1)+1+(k+1)f(k)
((k+1)f(k)+1)g(k+1)=(k+1)f(k)+1+k+1+(k+1)²f(k)
=(k+1)(k+2)f(k)+k+2
=(k+2)((k+1)f(k)+1)
显然(k+1)f(k)+1>0
所以g(k+1)=k+2,得证
所以由数学归纳法可得g(n)=n+1
设f(n)=1+1/2+1/3+...1/n,对于等式f(1)+f(2)+...f(n-1)=g(n)[f(n-1)}猜
设f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n,是否存在关于自然数N的函数g(n),使等式f(1)+f(2)+.+f(n
设f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n,是否存在g(n)使f(1)+f(2)+...+f(n-1)=g(n)f(
设f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n,是否存在于自然数n的函数g(n),使等式f(1)+f(2)+...+f(
f(n)=1+1/2+1/3+...1/n,是否存在关于自然数n的函数g(n),使等式f(1)+f(2)+...+f(n
设f(n)=n+f(1)+f(2)+f(3)+……+f(n-1),用数学归纳法证明“n+f(1)+f(2)+f(3)+…
设f(x)=2^x/(2^x+根号2),求f(1/n)+f(2/n)+f(3/n)+.+f(n/n)(n为自然数)
f(f(n))=3n,求f(1),f(2),f(3).
已知递推公式f(n)=(n-1)(n-2)[f(n-2)+f(n-3)+(n-3)*f(n-4)] (n>4)求通项公式
设f(n)=1+1/2+1/3+…+1/2n 则f(n+1)-f(n)=?
设f(n)=1+1/2+1/3+.+1/n 求证f(1)+f(2)+.+(n-1)=n·[f(n)-1]用数学归纳法
设定义在N*上的函数f(n)=n(n为奇数);f(n)=f(n/2)(n为偶数),an=f(1)+f(2)+f(3)+·