设a>b>0,p1,p2为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上2个不同点,P在以线段p1p2为直径的圆上,求证|OP

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/05 14:56:21

设a>b>0,p1,p2为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上2个不同点,P在以线段p1p2为直径的圆上,求证|OP≤|√(a^2+b^2)

Well,a question with no award...It's OK anyway
首先,需要先转化问题为更直接的形式：
令p1(x1,y1)=(a*cosθ,b*sinθ),p2(x2,y2)=(a*cosφ,b*sinφ),p1和p2的中点为M,
作图后,由三角关系我们可以得到
|op|≤|oM|+|Mp|,
因此只需要证明|oM|+|Mp|≤|√(a^2+b^2),
|oM|+|Mp|=1/2*√{(x1-x2)^2+(y1-y2)^2}+1/2*√{(x1+x2)^2+(y1+y2)^2}
由和差化积公式:
x1-x2=-2a*sin(θ+φ)/2*sin(θ-φ)/2
y1-y2=2b*cos(θ+φ)/2*sin(θ-φ)/2
x1+x2=2a*cos(θ+φ)/2*cos(θ-φ)/2
y1+y2=2b*sin(θ+φ)/2*soc(θ-φ)/2
代入上式可得：
|oM|+|Mp|=√{(a*sin(θ+φ)/2*sin(θ-φ)/2)^2+(b*cos(θ+φ)/2*sin(θ-φ)/2)^2}
+√{(a*cos(θ+φ)/2*cos(θ-φ)/2)^2+(b*sin(θ+φ)/2*soc(θ-φ)/2)^2}
=sin(θ-φ)/2*√{a^2*(sin(θ+φ)/2)^2+b^2*(cos(θ+φ)/2)^2}+
cos(θ-φ)/2*√{a^2*(cos(θ+φ)/2)^2+b^2*(sin(θ+φ)/2)^2}
注意到上式最后的表达式中,两项后面根号中的代数式之和为√{a^2+b^2}
因此,存在参数α,使其变为：
|oM|+|Mp|=sin(θ-φ)/2*√{a^2+b^2}*cosα+cos(θ-φ)/2*√{a^2+b^2}*sinα
=√{a^2+b^2}*sin((θ-φ)/2+α)
≤√{a^2+b^2}.
所以
|op|≤|oM|+|Mp|≤√{a^2+b^2}.
根号下的式子,我统一用√{...}表示了
也可以用图形方法证,稍微繁复一些,有兴趣可以M我

过点M(-2,0)的直线m与椭圆x^2/2+y^2=1交于P1,P2,线段P1P2的中点为P,设直线的斜率为k2 (k不已知P为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上一点,F1为它的一个焦点,求证:以PF1为直径的圆与以长轴原题：设O为原点,y=x²-2x+2与y=mx交于两点P1,P2,Q在P1P2上,且满足1/OP1 +1/OP 设p为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上一点,A为长轴的右端点,若OP垂直PA求椭圆的离心率的取值范已知两点P1（4,1）,P2（-2,-3）求以线段P1P2为直径的圆的方程过点M的 (-2,0)直线L与椭圆x^2/2+y^2=1交于P1,P2线段P1,P2中点为P 过点M（-2,0）的直线L与椭圆X^2/2+Y^2=1交于P1、P2两点,线段P1P2的中点为P P为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）上一点,F为它的一个焦点,证明以PF为直径的圆与长轴为直径的圆相已知P1(2,5),P2(8,3)求以线段P1P2为直径的圆的标准方程椭圆x^2/a^2 + y^2/b^2=1 (a>b>0)的右焦点为F 其右准线与x轴交点为A 在椭圆上存在P点满足线段已知F为椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2＝1（a>b>0）的焦点,点P在椭圆上,证明以PF为直径椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1 a>b>o 右焦点为F 其右准线与x轴的交点为A 在椭圆上存在一点P 满足线段A