搜狗做题网高数 不等式的证明
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 10:11:58
高数 不等式的证明
由f(a)=f(b)=0,对任意的x∈(a,b),可以假设f(x)=g(x)(x-a)(x-b),g(x)待定.
构造函数F(t)=f(t)-g(x)(t-a)(t-b),则f(t)有二阶连续的导数,且F(a)=F(b)=F(x)=0,由罗尔中值定理,在(a,b)内至少存在一点ξ,使得F''(ξ)=0,即f''(ξ)－2g(x)=0,所以g(x)=f''(ξ)/2,f(x)=f''(ξ)/2*(x-a)(x-b).
|∫(a到b) f(x)dx|＝|∫(a到b) f''(ξ)/2*(x-a)(x-b)dx|≤∫(a到b) M/2*|(x-a)(x-b)|dx＝(b-a)^3M/12
再问： 罗尔中值定理怎么得出来的F''(ξ)=0呢？ 求大神指点
再答： 对F(x)用两次，再对F'(x)用一次
再问： ∫(a到b) M/2*|(x-a)(x-b)|dx＝(b-a)^3M/12 这一步是用分部积分做的吗？ 恕我愚钝在我看来你省略的步骤比较多我的慢慢体会.............
再答： 用不着分部积分，(x-a)(x-b)恒小于等于0，绝对值就去掉了
再问： 我意思是最后结果是怎么来的...？(b-a)^3M/12
再答： 算一下不就是了。如果想更容易整理出结果，可以换元x=(a+b)/2 + t，这样把积分区间化为对称区间，被积函数也简化了
构造函数F(t)=f(t)-g(x)(t-a)(t-b),则f(t)有二阶连续的导数,且F(a)=F(b)=F(x)=0,由罗尔中值定理,在(a,b)内至少存在一点ξ,使得F''(ξ)=0,即f''(ξ)－2g(x)=0,所以g(x)=f''(ξ)/2,f(x)=f''(ξ)/2*(x-a)(x-b).
|∫(a到b) f(x)dx|＝|∫(a到b) f''(ξ)/2*(x-a)(x-b)dx|≤∫(a到b) M/2*|(x-a)(x-b)|dx＝(b-a)^3M/12
再问： 罗尔中值定理怎么得出来的F''(ξ)=0呢？ 求大神指点
再答： 对F(x)用两次，再对F'(x)用一次
再问： ∫(a到b) M/2*|(x-a)(x-b)|dx＝(b-a)^3M/12 这一步是用分部积分做的吗？ 恕我愚钝在我看来你省略的步骤比较多我的慢慢体会.............
再答： 用不着分部积分，(x-a)(x-b)恒小于等于0，绝对值就去掉了
再问： 我意思是最后结果是怎么来的...？(b-a)^3M/12
再答： 算一下不就是了。如果想更容易整理出结果，可以换元x=(a+b)/2 + t，这样把积分区间化为对称区间，被积函数也简化了