大一的线代题目,
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/23 15:43:26
大一的线代题目,
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5 C
已知n维向量α1,α2,α3线性无关,若β1,β2,β3可用α1,α2,α3线性表出,设
(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)C
证明β1,β2,β3线性无关的充分必要条件是 |C|≠0
证:
记A=(α1,α2,α3),B=(β1,β2,β3)
必要性
若β1,β2,β3线性无关,则秩r(B)=r(β1,β2,β3)=3 又
r(B)=r(AC)≤r(C)≤3
因此,秩r(C)=3,即矩阵C可逆,|C|≠0
充分性
若|C|≠0,即矩阵C可逆,那么
r(B)=r(AC)=r(A)=r(α1,α2,α3)=3
所以β1,β2,β3线性无关.
希望把这一结论掌握.
已知n维向量α1,α2,α3线性无关,若β1,β2,β3可用α1,α2,α3线性表出,设
(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)C
证明β1,β2,β3线性无关的充分必要条件是 |C|≠0
证:
记A=(α1,α2,α3),B=(β1,β2,β3)
必要性
若β1,β2,β3线性无关,则秩r(B)=r(β1,β2,β3)=3 又
r(B)=r(AC)≤r(C)≤3
因此,秩r(C)=3,即矩阵C可逆,|C|≠0
充分性
若|C|≠0,即矩阵C可逆,那么
r(B)=r(AC)=r(A)=r(α1,α2,α3)=3
所以β1,β2,β3线性无关.
希望把这一结论掌握.