如何建立微分方程如图,一个小球从一个四分之一圆弧的光滑斜面上静止释放,那么怎么建立微分方程来求解小球从顶端运动到底部所用

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 11:37:56

如何建立微分方程

如图,一个小球从一个四分之一圆弧的光滑斜面上静止释放,那么怎么建立微分方程来求解小球从顶端运动到底部所用的时间?

如何建立微分方程如图,一个小球从一个四分之一圆弧的光滑斜面上静止释放,那么怎么建立微分方程来求解小球从顶端运动到底部所用

建立合适的坐标,以向下为y轴的正方向,以向左为x的正方向.
小球的运动轨迹方程为：(x-r)^2+y^2=r^2 r为四分之一圆弧的半径.
y=y(x) y(0)=0 y(r)=r
v=ds/dt=[(1+y'^2)^(1/2)]dx/dt （v为小球的速度）
dt={[(1+y'^2)^(1/2)]/v}dx.(1)
小球在y处,有能量守恒定理：
mgy=(1/2)mv^2 ,
v=(2gy)^(1/2) .(2)
(2)代入（1）式得：dt=[(1+y'^2)/(2gy)]^(1/2)]dx
t=∫[(1+y'^2)/(2gy)]^(1/2)]dx （定积分从0积到r)
故：t的积分值即为小球从顶端运动到底部所用的时间.
分析：楼主有兴趣,可以把y=f(x)的函数关系代入,进行积分.
再问：请问一下v=ds/dt=[(1+y'^2)^(1/2)]dx/dt这步 ds怎么求出来的啊？
再答：答：在求任意一条曲线长度时，我们可以用直线近似地表示曲线的长度。由勾股定理： (△S)^2 ≈(△X)^2+(△)^2 ，当取△X 足够小，就有微分 (ds)^2=(dx)^2+(dy)^2 ds=[(dx)^2+(dy)^2]^(1/2)={[1+(dy/dx)^2]^(1/2)}dx v=ds/dt={[1+(dy/dx)^2]^(1/2)}(dx/dt) 这个公式在高等数学的教材中都有，楼主不妨去查一下。

一个质量为m=1kg的小球从倾角α=30光滑斜面上静止释放如图，一个楔形物体M放在固定的粗糙斜面上，上表面水平，在其上表面上放一光滑小球m，楔形物体从静止开始释放，则小球在碰到斜在光滑的水平面上有一静止的斜面,斜面光滑,现有一个小球从斜面顶点由静止释放,在小球下滑的过程中,为什么只是“斜面和小球组微积分应用（高手进）一个1/4的光滑圆弧槽固定在水平面上,从槽的最高点沿圆弧槽静止释放一个质量为m的小球,求小球滑到最低一个劈形物体M,各面均光滑,放在固定的斜面上,上面呈水平,水平面上放一光滑小球m,劈形物体从静止开始释放,则小球在碰到斜动量守恒小问题一题在光滑的水平面上有一静止的斜面,斜面光滑,现有一个小球从斜面顶点由静止释放,在小球下滑的过程中,为什么如图,斜面是光滑的,一个质量是0.2Kg的小球用细线吊在倾角为53°的斜面顶端,斜面静止时,球紧靠在斜面上,绳子与斜面平如图,从斜面每0.1s释放一个小球,在连续释放几个后,对在斜面上的小球拍下照片.如图所示,在连续释放几个后,对在斜面上的关于旋转拥有的动能比如说一个斜面,不光滑,把小球从高和h处释放,刚到达斜面底部平面时克服摩擦力做功w,那么此时的速度满足一个质量为m=2 kg的小球从光滑的斜面上高h=3.5m处由静止滑下,斜面底端紧接着一个半径为R=1m的光滑半圆环,如图如图所示,质量相等的甲、乙两小球从一光滑直角斜面的顶端同时由静止开始释放,甲小球沿斜面下滑经过a点,乙小球竖直下落经过b 如图所示，质量相等的甲、乙两小球从一光滑直角斜面的顶端同时由静止释放，甲小球沿斜面下滑经过a点，乙小球竖直下落经过b点，