证明取值范围为[0,1]的随机变量方差最大为1/4

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 20:24:37

证明取值范围为[0,1]的随机变量方差最大为1/4
这道题属于概率与数理统计的领域
设该随机变量为p,则方差Vp=E(p^2)-(Ep)^2,其中E表示期望，那么由于p属于[0,1],则有E(p^2)

证明如下：
设随机变量有n个,分别为X1,X2,X3,...,Xn,平均数为Y
则方差=[(X1-Y)^2+(X2-Y)^2+...+(Xn-Y)^2]/n
=[X1^2+X2^2+...+Xn^2-2Y(X1+X2+...+Xn)+nY^2]/n
=[X1^2+X2^2+...+Xn^2-2Y(nY)+nY^2]/n
=[X1^2+X2^2+...+Xn^2-nY^2]/n
=[nX1^2+nX2^2+...nXn^2-(X1+X2+...+Xn)^2]/n^2
这个式子对于X1来说是开口向上的二次函数（把X2,X3,...,Xn看成定值）,所以当X1=0或1（即定义域的两个端点之一）时方差有最大值.
同理,当X2=0或1时方差有最大值.
...
同理,当Xn=0或1时方差有最大值.
因此只有当所有随机变量都在0或1中取时,方差最大.
下面求最大方差：
设有a个随机变量取0,n-a个随机变量取1,则平均数Y=(n-a)/n
方差=[a(0-Y)^2+(n-a)(1-Y)^2]/n
={a[0-(n-a)/n]^2+(n-a)[1-(n-a)/n]^2}/n
=[a(n-a)^2+(n-a)a^2]/n^3
=a(n-a)/n^2
=(-a^2+na)/n^2
=[-(a-n/2)^2+(n^2)/4]/n^2
≤1/4
所以,当a=n/2时,即n/2个0,n/2个1时,方差有最大值1/4 (若n为奇数,则方差不可能取到1/4)
如果有看不懂的地方,可以给我发信息

方差的取值范围?方差为1的数据会说明什么问题? 随机变量X的期望为1,方差为4,随机变量Y的期望为0,方差为1,切X,Y的相关系数为-0.2,则Z=X-2Y+1的方差为设常数a与b为随机变量X的一切可能取值中的最小值和最大值，EX，DX分别为X的数学期望与方差。证明：（1）a 有关方差的一道证明题a b分别为随机变量X一切可能取值中的最小值与最大值证明 DX 随机变量X,Y的方差分别为4和1,相关系数为0.1,则随机变量3X+2Y的方差为多少? 随机变量X,Y的方差分别为4和1,相关系数为0.5,则随机变量3X—2Y的方差为多少? 设两个随机变量X,Y相互独立,且都服从均值为0,方差为1/2的正态分布,求随机变量|X-Y|的方差. 设随机变量X的概率密度为f(x)=c,x属于[1,3],x在其他范围概率密度等于0,则方差D(x)= 已知随机变量ξ所有的取值为1,2,3,对应的概率依次为p1,p2,p1,若随机变量ξ的方差Dξ=0.5,则p1+p2= 设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,则随机变量3X – 2Y的方差为_____ 设总体X~N（0,1）, 已知平均数为11,方差为4,随机变量范围在7~15之间,求小于9的概率, X Y Z为期望为0,方差为1的高斯随机变量,利用特征函数求E[XYZ]