如图1，△ABC中，AC=BC，∠C=120°，D在BC边上、△BDE为等边三角形，连接AE，F为AE中点，连CF，DF

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/13 21:41:41

如图1，△ABC中，AC=BC，∠C=120°，D在BC边上、△BDE为等边三角形，连接AE，F为AE中点，连CF，DF．

（1）请直接写出CF、DF的数量关系，不必说明理由；
（2）将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜60°），其它条件不变，如图2，试回答（1）中的结论是否成立？并说明理由；
（3）若将图（1）中的△DBE绕点B顺时针旋转90°，其它条件不变，请完成图3，并直接给出结论，不必说明理由．

如图1，△ABC中，AC=BC，∠C=120°，D在BC边上、△BDE为等边三角形，连接AE，F为AE中点，连CF，DF

（1）FD=
3CF，
理由如下：
延长DF，交AC于G；
∵∠CDE=∠ACD=120°，
∴DE∥AG；
∵F是AE的中点，
∴F是GD的中点，即AE、DG互相平分，
∴四边形AGED是平行四边形，
∴AG=DE=DB；
∵BC=AC，∴CG=CD，
在等腰△CGD中，F是DG的中点，则CF⊥GD，且∠FCD=
1
2∠ACB=60°，
故FD=
3CF．
（2）延长DF至G，使得DF=FG；
则DG、AE互相平分，连接AG、CG；

故四边形AGED是平行四边形；
∴AG=DE=BD，且AG∥DE；
∴∠AGM=∠MDE=∠3+∠4=∠3+60°；
四边形AGMC中，
∠1+120°+∠CAG+∠AGF=360°，即∠1+120°+∠CAG+∠3+60°=360°⇒∠1+∠3+∠CAG=180°；
△DBM中，∠CBD+∠2+∠3=180°，
∵∠1=∠2，∴∠CAG=∠CBD=α；
又∵AG=BD，AC=BC，

∴△AGC≌△BDC，得GC=CD，∠ACG=∠DCB；
∴∠BCD+∠GCB=∠ACG+∠GCB=∠ACB=120°，
在等腰△GCD中，F是GD的中点，则CF⊥GD，且∠FCD=60°，
故FD=
3CF，所以（1）的结论依然成立．
（3）FD=
3CF，如图．（解法与（2）完全相同）．

如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过点C作CF⊥AE,垂足为F,过点B作BD⊥BC 已知,如图,在△ABC中,∠ACB=90,AC=BC,点D为AB的中点,AE=CF 求证:DE⊥DF 如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,D是AB的中点,AE=CF.求证：DE⊥DF 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作AE的垂线CF,垂足为F,过B作BD⊥BC 如图,在等腰三角形ABC中,∠ABC=90°,D为AC边上中点,过点D作DE⊥DF,交AE于E,交BC于F.若AE＝4, （2012•香坊区三模）如图，在等边△ABC中，点D、E分别为AB、AC边的中点，点F为BC边上一点，CF=1，连接DF 如图三角形ABC中,AE平分∠BAC交BC于E,D为BC中点,DF平行于AE交AC于F,AB=1,AC=2,求CF的长全等三角形问题~如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过点C作CF⊥AE,垂足为F,过如图在等腰三角形ABC中,∠ABC=90°,D为AC边上的中点,过D作DE⊥DF,交AB于E,交BC于F.若AE=4,F 如图,在等腰三角形ABC中,∠ABC=90°,D为AC边上中点,过D点DE丄DF,交AB于E,交BC于F,若AE=4,F 如图,在等腰三角形ABC中,∠ABC=90°,D为AC边上中点,过D作DE⊥DF,交AB于E,交BC于F,若AE=4,F 已知,如图△ABC中,D是AB中点,F在BC延长线上,连接DF于E,求证,CF:BF=CE:AE