搜狗做题网打五角星的题
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/13 06:51:39
解题思路： 由已知的恒等式出发，构造等式组，找到使f(x＋T)＝f(x)成立的常数T.
解题过程：
对于非零常数A，函数y＝f(x)（x∈R）满足f(x)＝f(x－A)＋f(x＋A)，证明：y＝f(x)是周期函数。
证明：对每一确定的实数t，在恒等式 f(x)＝f(x－A)＋f(x＋A) 中，
取x＝t，得 f(t)＝f(t－A)＋f(t＋A)，………………………………………①
取x＝t＋A，得 f(t＋A)＝f(t)＋f(t＋2A)，…………………………………②
①＋②，得 f(t)＋f(t＋A)＝f(t－A)＋f(t＋A)＋f(t)＋f(t＋2A)，
∴ f(t＋2A)＝－f(t－A)，
令t－A＝s，则 f(s＋3t)＝－f(s)【此式意义是：自变量相差3A，函数值相反】，
于是，f(x＋6A)＝f[(x＋3A)＋3A]＝－f(x＋3A)＝－[－f(x)]＝f(x)，
故 f(x)是以6A为周期的周期函数（证毕）。
同学你好，如对解答还有疑问，可在答案下方的【添加讨论】中留言，我收到后会尽快给你答复。感谢你的配合！祝你学习进步，生活愉快 .
最终答案：略
解题过程：
对于非零常数A，函数y＝f(x)（x∈R）满足f(x)＝f(x－A)＋f(x＋A)，证明：y＝f(x)是周期函数。
证明：对每一确定的实数t，在恒等式 f(x)＝f(x－A)＋f(x＋A) 中，
取x＝t，得 f(t)＝f(t－A)＋f(t＋A)，………………………………………①
取x＝t＋A，得 f(t＋A)＝f(t)＋f(t＋2A)，…………………………………②
①＋②，得 f(t)＋f(t＋A)＝f(t－A)＋f(t＋A)＋f(t)＋f(t＋2A)，
∴ f(t＋2A)＝－f(t－A)，
令t－A＝s，则 f(s＋3t)＝－f(s)【此式意义是：自变量相差3A，函数值相反】，
于是，f(x＋6A)＝f[(x＋3A)＋3A]＝－f(x＋3A)＝－[－f(x)]＝f(x)，
故 f(x)是以6A为周期的周期函数（证毕）。
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最终答案：略