搜狗做题网高数-级数的收敛域问题
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/04 17:24:42
高数-级数的收敛域问题
因为和书上的答案不一样.书上的答案是右边的端点也是开区间.
因为和书上的答案不一样.书上的答案是右边的端点也是开区间.
有几个问题：
1）级数应该是有无限多项的,你只写了有限项,少了 “…”；
2）数学的省略号是 3 点,你写了 6 点；
3）在 x=-1/2 处,级数是交错级数,符合 Leibniz 判别法的条件,级数Σ[(-1)^n]/(n²+1) 是收敛的.
实际上,级数 Σ[(±1)^n]/(n²+1) 是绝对收敛的,所以该级数的收敛区间应该是 [-1/2,1/2],书上错了.
再问： 1）确实是我偷懒没写
2）GET
3）在-1/2处时级数Σ[(-1)^n]/(n²+1) 怎么是收敛的呢？当n=1时它是负数，n+1时是正数，un un+1，un→0(n→∞)，
即数列 {1/(n²+1)} 单调下降趋于 0，符合 Leibniz 判别法的条件，级数Σ[(-1)^n]/(n²+1) 是收敛的。
实际上，级数 Σ[(±1)^n]/(n²+1) 是绝对收敛的，所以该级数的收敛区间应该是 [-1/2, 1/2]。
再问： 能解释一下为什么un>un+1么？我觉得un n²+1，所以
u(n+1) = 1/[(n+1)²+1] < 1/(n²+1) = u(n)，
还有疑问吗？
再问： 那它的分子(-1)^n中的n是不是也要加1啊？
再答： 非也，Leibniz 判别法中，级数是记成 Σ[(-1)^n]u(n) 的，你翻书了吗？
1）级数应该是有无限多项的,你只写了有限项,少了 “…”；
2）数学的省略号是 3 点,你写了 6 点；
3）在 x=-1/2 处,级数是交错级数,符合 Leibniz 判别法的条件,级数Σ[(-1)^n]/(n²+1) 是收敛的.
实际上,级数 Σ[(±1)^n]/(n²+1) 是绝对收敛的,所以该级数的收敛区间应该是 [-1/2,1/2],书上错了.
再问： 1）确实是我偷懒没写
2）GET
3）在-1/2处时级数Σ[(-1)^n]/(n²+1) 怎么是收敛的呢？当n=1时它是负数，n+1时是正数，un un+1，un→0(n→∞)，
即数列 {1/(n²+1)} 单调下降趋于 0，符合 Leibniz 判别法的条件，级数Σ[(-1)^n]/(n²+1) 是收敛的。
实际上，级数 Σ[(±1)^n]/(n²+1) 是绝对收敛的，所以该级数的收敛区间应该是 [-1/2, 1/2]。
再问： 能解释一下为什么un>un+1么？我觉得un n²+1，所以
u(n+1) = 1/[(n+1)²+1] < 1/(n²+1) = u(n)，
还有疑问吗？
再问： 那它的分子(-1)^n中的n是不是也要加1啊？
再答： 非也，Leibniz 判别法中，级数是记成 Σ[(-1)^n]u(n) 的，你翻书了吗？