搜狗做题网矩阵迹的问题：
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/17 07:07:31
矩阵迹的问题：
1.把A^TA乘出来,看看对角元就清楚了
2.利用1的结论和tr(XY)=tr(YX)的性质
3.充分性是错的,显然非零纯量阵（单位阵的常数倍）都满足这个性质
当然可以得到弱一点的结论,就是A是正交阵的非零常数倍（先对A做QR分解,再把B取遍e_ie_j^T型的矩阵可以推出R是纯量阵）
再问： 充分性是错的？可这是一道考研真题呀。帮忙再斟酌一下，非常感激您。
再答： 比如A=2I，显然A不是正交阵, ABA^{-1}=B，σ(ABA^{-1})=σ(B)，所有条件都满足
不要迷信什么“考研真题”，去看看下面的链接
http://zhidao.baidu.com/question/982722981202646659.html
再问： 对的，对的，这个反例举的太棒了，十分感激您，老师辛苦了。
再问： 老师您好，有道题目一直研究不出来，请您帮帮我。感激
再问：
再答： (1) AB^k-B^kA = (AB^k-BAB^{k-1}) + B(AB^{k-1}-B^{k-1}A)
归纳即可
(2) k=0的时候是Cayley-Hamilton定理
k>0的时候 f^{(k)}(B)C * C^{k-1} = [Af^{(k-1)}(B) - f^{(k-1)}(B)A]C^{k-1} = Af^{(k-1)}(B)C^{k-1} - f^{(k-1)}(B)C^{k-1} A，然后归纳
(3) A和B对称 => C反对称，然后注意C的特征值都是0即可
再问： 老师，您好。第三问还是不懂。
再答： 反对称矩阵是正规阵，一定可对角化，从(2)知道C的特征值都是0，完了
2.利用1的结论和tr(XY)=tr(YX)的性质
3.充分性是错的,显然非零纯量阵（单位阵的常数倍）都满足这个性质
当然可以得到弱一点的结论,就是A是正交阵的非零常数倍（先对A做QR分解,再把B取遍e_ie_j^T型的矩阵可以推出R是纯量阵）
再问： 充分性是错的？可这是一道考研真题呀。帮忙再斟酌一下，非常感激您。
再答： 比如A=2I，显然A不是正交阵, ABA^{-1}=B，σ(ABA^{-1})=σ(B)，所有条件都满足
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再问： 对的，对的，这个反例举的太棒了，十分感激您，老师辛苦了。
再问： 老师您好，有道题目一直研究不出来，请您帮帮我。感激
再问：
再答： (1) AB^k-B^kA = (AB^k-BAB^{k-1}) + B(AB^{k-1}-B^{k-1}A)
归纳即可
(2) k=0的时候是Cayley-Hamilton定理
k>0的时候 f^{(k)}(B)C * C^{k-1} = [Af^{(k-1)}(B) - f^{(k-1)}(B)A]C^{k-1} = Af^{(k-1)}(B)C^{k-1} - f^{(k-1)}(B)C^{k-1} A，然后归纳
(3) A和B对称 => C反对称，然后注意C的特征值都是0即可
再问： 老师，您好。第三问还是不懂。
再答： 反对称矩阵是正规阵，一定可对角化，从(2)知道C的特征值都是0，完了