搜狗做题网定积分单调性为什么被积区间可以这样分
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/24 07:18:55
定积分单调性
为什么被积区间可以这样分
为什么被积区间可以这样分
这是周期函数的一个积分性质.
若f(x)=f(x+T),则在任何一个长度是T的区间上的积分值都是一样的.
积分(从a到a+T)f(x)dx
=积分(从a到0)+积分(从0到T)+积分(从T到T+a) f(x)dx
对第三个积分做变量替换x-T=y,注意到周期性,再用x代替y得
=积分(从a到0)+积分(从0到T)+积分(从0到a)f(x)dx
第一个和第三个积分互为相反数
=积分(从0到T)f(x)dx
再问： 可是这个题中怎么看出f(x)=f(x+T)？
再答： 本题中的sin，cos都是以T=2pi为周期的啊，所以只要长度是2pi，积分值都是一样的。
再问： 但是他们的n次方和m次方的乘积还是以2π为周期吗？
再答： 对。这很容易验证。 sin^n(x+2pi)*cos^m(x+2pi)=sin^n(x)*cos^m(x)，故是以2pi为周期的。
若f(x)=f(x+T),则在任何一个长度是T的区间上的积分值都是一样的.
积分(从a到a+T)f(x)dx
=积分(从a到0)+积分(从0到T)+积分(从T到T+a) f(x)dx
对第三个积分做变量替换x-T=y,注意到周期性,再用x代替y得
=积分(从a到0)+积分(从0到T)+积分(从0到a)f(x)dx
第一个和第三个积分互为相反数
=积分(从0到T)f(x)dx
再问： 可是这个题中怎么看出f(x)=f(x+T)？
再答： 本题中的sin，cos都是以T=2pi为周期的啊，所以只要长度是2pi，积分值都是一样的。
再问： 但是他们的n次方和m次方的乘积还是以2π为周期吗？
再答： 对。这很容易验证。 sin^n(x+2pi)*cos^m(x+2pi)=sin^n(x)*cos^m(x)，故是以2pi为周期的。