求解x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0 （范围是实数+虚数范围）

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 19:17:37

/>x^5+x^4+x^3+x^2+x+1
=x^3(x^2+x+1)+(x^2+x+1)
= (x^3+1)(x^2+x+1)
= (x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)
= 0
从而有
x+1=0或x^2-x+1=0或x^2+x+1=0
解得
（1）由x+1=0得实数根x=-1
（2）由x^2-x+1=0,有
x^2-x+1=（x-1/2)^2+3/4=0
即（x-1/2)^2=-3/4
x-1/2=±√3/2i
从而解得两个虚数根
x=(1+√3i)/2或x=(1-√3i)/2 （注：√3为根号3,虚数i²=-1）
（3）由x^2+x+1=0,有
或x^2+x+1 =(x+1/2)^2+3/4=0
即（x+1/2)^2=-3/4
x+1/2=±√3/2i
从而解得两个虚数根
x=(-1+√3i)/2或x=(-1-√3i)/2
所以原方程的根有：
x=-1 或x=(1+√3i)/2或x=(1-√3i)/2 或x=(-1+√3i)/2或x=(-1-√3i)/2

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