搜狗做题网证明：可分度量空间的每一个子空间都是可分空间?
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/06 10:01:01
证明：可分度量空间的每一个子空间都是可分空间?
求详解；
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设X={xn}是可分度量空间V有可数稠密子集,V1是V的任意一个非空子空间,d是度量.
由于X在V中稠密,所以对任意的k>=1,V=U{n>=1}B(xn,1/k),这里U表示取并集,B(xn,1/k)表示中心为xn半径为1/k的球
从而V1=V1∩V=V1∩(U{n>=1}B(xn,1/k))=U{n>=1}{B(xn,1/k)∩V1}
在每一个非空的B(xn,1/k)∩V中取一个元素记作znk,这样的znk至多可数个,它们构成一个集合记作Z,则Z就是V1的可数稠密子集.事实上,对任意的k>=1,任取V1中元素x,由于V1=U{n>=1}{B(xn,1/(2k))∩V1},所以存在n>=1使得x∈B(xn,1/(2k))∩V1,由于B(xn,1/(2k))∩V1非空,所以znk是存在的,因此d(x,znk)
再问： 你的答案好无趣啊，特复杂了哇。、
再答： 是的，很无趣，我也想不出更简单的了！
由于X在V中稠密,所以对任意的k>=1,V=U{n>=1}B(xn,1/k),这里U表示取并集,B(xn,1/k)表示中心为xn半径为1/k的球
从而V1=V1∩V=V1∩(U{n>=1}B(xn,1/k))=U{n>=1}{B(xn,1/k)∩V1}
在每一个非空的B(xn,1/k)∩V中取一个元素记作znk,这样的znk至多可数个,它们构成一个集合记作Z,则Z就是V1的可数稠密子集.事实上,对任意的k>=1,任取V1中元素x,由于V1=U{n>=1}{B(xn,1/(2k))∩V1},所以存在n>=1使得x∈B(xn,1/(2k))∩V1,由于B(xn,1/(2k))∩V1非空,所以znk是存在的,因此d(x,znk)
再问： 你的答案好无趣啊，特复杂了哇。、
再答： 是的，很无趣，我也想不出更简单的了！