搜狗做题网球轨迹方程2(~))
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 09:55:21
怎么做
解题思路： 先设三个点P、R、Q的坐标分别为（xP，yP），（xR，yR），（x，y），利用共线条件得出它们坐标的关系，再依据条件|OQ|•|OP|=|OR|2，将三点的坐标代入，最终得到关于x，y的方程即为所求．
解题过程：
解：由题设知点Q不在原点．设P、R、Q的坐标分别为（xP，yP），（xR，yR），（x，y），其中x，y不同时为零．
当点P不在y轴上时，由于点R在椭圆上及点O、Q、R共线，
得方程组 x 2 R 24 + y 2 R 16 ＝1 yR xR ＝ y x
解得 x 2 R ＝ 48x2 2x2+3y2 ① y 2 R ＝ 48y2 2x2+3y2 ②
由于点P在直线l上及点O、Q、P共线，得方程组 xp 12 + yp 8 ＝1 yp xp ＝ y x ．
解得 xp＝ 24x 2x+3y ③ yp＝ 24y 2x+3y ④
当点P在y轴上时，经验证①～④式也成立．
由题设|OQ|•|OP|=|OR|2，得 x2+y2 • x 2 P + y 2 P ＝( x 2 R + y 2 R )2
将①～④代入上式，化简整理得 242(x2+y2)2 (2x+3y)2 ＝ 48(x2+y2) 2x2+3y2
因x与xp同号或y与yp同号，以及③、④知2x+3y＞0，
故点Q的轨迹方程为 (x−1)2 5 2 + (y−1)2 5 3 ＝1（其中x，y不同时为零）．
所以点Q的轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为 10 2 和 15 3 且长轴与x轴平行的椭圆、去掉坐标原点．
解题过程：
解：由题设知点Q不在原点．设P、R、Q的坐标分别为（xP，yP），（xR，yR），（x，y），其中x，y不同时为零．
当点P不在y轴上时，由于点R在椭圆上及点O、Q、R共线，
得方程组 x 2 R 24 + y 2 R 16 ＝1 yR xR ＝ y x
解得 x 2 R ＝ 48x2 2x2+3y2 ① y 2 R ＝ 48y2 2x2+3y2 ②
由于点P在直线l上及点O、Q、P共线，得方程组 xp 12 + yp 8 ＝1 yp xp ＝ y x ．
解得 xp＝ 24x 2x+3y ③ yp＝ 24y 2x+3y ④
当点P在y轴上时，经验证①～④式也成立．
由题设|OQ|•|OP|=|OR|2，得 x2+y2 • x 2 P + y 2 P ＝( x 2 R + y 2 R )2
将①～④代入上式，化简整理得 242(x2+y2)2 (2x+3y)2 ＝ 48(x2+y2) 2x2+3y2
因x与xp同号或y与yp同号，以及③、④知2x+3y＞0，
故点Q的轨迹方程为 (x−1)2 5 2 + (y−1)2 5 3 ＝1（其中x，y不同时为零）．
所以点Q的轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为 10 2 和 15 3 且长轴与x轴平行的椭圆、去掉坐标原点．