搜狗做题网关于二次函数卷子
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 11:19:50
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解题思路： 二次函数试卷及答案
解题过程：
二次函数练习题
(一)填空
1．已知函数y=mxm2+m，当m=______时，它的图象是开口朝上的抛物线；当x______时，其y随x的增大而增大．
2．已知函数y=mxm2+m，当m=______时，它的图象是开口朝下的抛物线；当x______时，其y随x的增大而减小．
3．已知二次函数y=3x2-12x+11，当x=______时，此函数y有最______值，为______．
4．已知二次函数y=-x2+2x+1，当x=______时，此函数y有最______值，为______．
5．函数y=x2+2x-1的图象的顶点坐标是______，其对称轴是______．
6．二次函数y=-2x2+4x+1的图象的顶点坐标是______，其对称轴是______．
7．抛物线y=-x2+3的开口______，当x______时，其y随x的增大而增大．
8．抛物线y=2x2-3的开口______，当x______时，其y随x的增大而减小．
9．函数y=3x-2x2的图象的顶点坐标是______，其对称轴是______．
10．已知函数y=(m-1)xm2+m，当m______时，它的图象是抛物线；当x______时，其y随x的增大而增大．
11．已知函数y=(m+3)xm2+m-4，当m=______时，它的图象是抛物线；当x______时，其y随x的增大而减小．
12．设A，B，C分别为抛物线y=x2-2x-4与y轴的交点，及与x轴的两个交点，则△ABC的面积为______．
13．将抛物线y=-2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线解析式为______．
14．将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线解析式为______．
15．二次函数的图象如图13-34所示，则它的解析式为______．若另一函数的图象与该图象关于x轴对称，则它的解析式为______；若另一函数的图象与该图象关于y轴对称，则它的解析式为______．
16．二次函数的图象如图13-35所示，则它的解析式为______．若另一函数的图象与该图象关于x轴对称，则它的解析式为______；若另一函数的图象与该图象关于y轴对称，则它的解析式为______．
17．若抛物线y=2kx2+(8k-1)x+8k的顶点在x轴的上方，则k的取值范围是______．
18．设A，B，C分别为抛物线y=12x2-25x+12与y轴的交点，及与x轴的两个交点，则△ABC的面积为______．
位，则所得抛物线解析式为______．
20．将抛物线y=-2(x-1)2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线解析式为______．
21．抛物线y=2-x-x2与x轴的交点坐标为______和______．
22．已知抛物线y=2x2-3x-5，当x______时，其y随x的增大而增大；当x______时，y随x的增大而减小．
23．已知抛物线y=1-5x-3x2，当x______时，其y随x的增大而增大；当x______时，y随x的增大而减小．
24．若函数y=(m2-1)x3m2-2m-3是二次函数，则m＝______．
25．若抛物线y=x2-kx+k-1的顶点在y轴上，则k=______．
为______．
27．当x=______时，函数y=-0.4x2+3x-4，有最______值，为______．
28．若抛物线y=(m+3)x2+2x+(m2+2m-3)经过原点，则m=______．
29．若抛物线y=x2+2(k-1)x+3的顶点在y轴的右侧，则k的取值范围是______．
30．若抛物线y=(k+1)x2-3x+2的顶点在y轴的左侧，则k的取值范围是______．
(二)选择
31．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图13-36所示，则下列四组中正确的是 [ ]
A．a＞0，b＞0，c＞0；
B．a＞0，b＜0，c＞0；
C．a＞0，b＞0，c＜0；
D．a＞0，b＜0，c＜0．
32．抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图13-37所示，则下列四组中正确的是 [ ]
A．a＜0，b＞0，c＞0；
B．a＜0，b＞0，c＜0；
C．a＜0，b＜0，c＞0；
D．a＜0，b＜0，c＜0．
33．已知直线x=1是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴(见图13-38)，则 [ ]
A．abc＞0； B．a+b+c＜0；
C．a+b＜b； D．以上结论都不对．
34．如图13-39所示，已知x=1是此抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴，则 [ ]
A．abc＜0； B．a+b+c＞0；
C．b＞a+c； D．3b＜2c．
必须 [ ]
A．向上平移3个单位； B．向下平移3个单位；
C．向左平移3个单位； D．向右平移3个单位．
36．要从抛物线y=-2x2的图象得到y=-2x2-1的图象，则抛物线y=-2x2必须 [ ]
A．向上平移1个单位； B．向下平移1个单位；
C．向左平移1个单位； D．向右平移1个单位．
37．将抛物线y=-3x2的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为 [ ]
A．y=-3(x-1)2-2； B．y=-3(x-1)2+2；
C．y=-3(x+1)2-2； D．y=-3(x+1)2+2．
38．要从抛物线y=2x2得到y=2(x-1)2+3的图象，则抛物线y=2x2必须 [ ]
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位；
B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位；
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位；
D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位．
=-x2必须 [ ]
A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位；
B．向左平移1个单位，再向下平移3个单位；
C．向右平移1个单位，再向上平移3个单位；
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位．
40．函数y=ax2+bx与y=ax+b(ab≠0)的图象是 [ ]
41．y=3x-3与y=x2-x+1交点的个数是 [ ]
A．0； B．1；
C．2； D．不确定．
42．抛物线y=ax2+bx+c(a＜0)的顶点在x轴上方的条件是
[ ]
A．b2-4ac＞0； B．b2-4ac＜0；
C．b2-4ac≥0； D．b2-4ac≤0．
43．抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)的顶点在x轴上方的条件是
[ ]
A．b2-4ac＞0； B．b2-4ac＜0；
C．b2-4ac≥0； D．b2-4ac≤0．
[ ]
45．直线y=-2x+3与抛物线y=x2-x的交点的个数是 [ ]
A．0； B．1；
C．2； D．不能确定．
46．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图13-40所示，则下列四组
条件中正确的是 [ ]
A．b＞0，c＞0，Δ＞0；
B．b＜0，c＜0，Δ＞0；
C．b＞0，c＜0，Δ＜0；
D．b＜0，c＜0，Δ＜0．
(三)求下列函数的解析式
47．已知二次函数的图象经过(1，3)，(-1，5)，(2，-1)三点，求此二次函数的解析式．
求此二次函数的解析式．
49．已知二次函数的顶点坐标为(2，3)，且其图象经过点(3，1)，求此二次函数的解析式．
50．已知二次函数的图象经过(1，-3)及(0，-8)两点，且与x轴的交点间的距离是2，求此二次函数的解析式．
51．已知二次函数的图象与x轴两交点间的距离为3，且经过(1，-2)和(-2，4)两点，求此二次函数的解析式．
52．已知抛物线经过(1，-8)点，顶点在x轴负半轴上，它的对称
抛物线解析式．
53．已知抛物线经过(3，8)点，顶点在x轴正半轴上，它的对称轴
线解析式．
54．已知抛物线经过(2，-8)点，且它的顶点恰是直线y=-3x与双
55．已知二次函数的图象经过点(1，5)，且当x=2时，其y有最小值3，求此二次函数的解析式．
56．抛物线的图象经过(1，0)，(5，0)两点，其顶点与x轴的距离为12，求此抛物线解析式．
57．已知二次函数的图象与x轴交点坐标分别为(2，0)，(-3，0)，且经过点(-2，4)．求此二次函数的解析式．
58．已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别为1和-2，且经过点(3，4)，求此二次函数的解析式．
59．二次函数y=5x2-5x+m的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，
60．已知直线y=kx+b(k≠0)经过点A(6，0)和B(0，4)，又点P
线与y轴交点坐标为(0，2)．求此抛物线解析式．
61．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)．当x=1时，此函数有最小值-1，且方程ax2+bx+c=0的两根α，β满足α2+β2＝4．求此二次函数解析式．
62．已知直线y=2x-5与y=-x+1的交点是一抛物线的顶点，且此抛物线的对称轴平行于y轴，并过点(1，2)．求此抛物线解析式．
大值25，且方程ax2+bx+c＝0的两根α，β满足α2+β2＝19，求此二次函数解析式．
64．已知在直角坐标系内有△ABC，∠C＝90°，且点A(1，0)，B(6，0)和点C皆在x轴上方，求以C为顶点，且过A，B两点的二次函数的解析式．
(四)解下列各题
65．求二次函数y=4x2-4x-3的图象与x轴的两个交点间的距离．
66．已知二次函数的对称轴是直线x=-2，且过(1，1)和(4，4)两点．
(1)写出此函数解析式；
(2)求出这个函数的最大值或最小值；
(3)当x为何值时，此函数y随x的增大而增大？
67．已知二次函数y=x2-5x-6．
(1)求此函数图象的顶点A和其与y轴的交点B的坐标；
(2)求此图象与x轴的交点C和D的坐标；
(3)求△ACD的面积．
68．已知二次函数的对称轴是直线x=1，且过(1，-3)和(3，5)两点．
(1)写出此函数解析式；
(2)求出这个函数的最大值或最小值；
(3)当x为何值时，此函数y随x的增大而减小？
69．已知二次函数y=-x2+4x-3，
(1)求此函数图象的顶点A和其与y轴交点B的坐标；
(2)求此图象与x轴交点C和D的坐标；
(3)求△BCD的面积．
70．已知二次函数y=x2-ax+a-2．
(1)求证：不论a为任何实数值，此二次函数的图象与x轴都有两个交点．
(2)当a为何值时，这两个交点间的距离最小？并求出这个最小距离．
71．设二次方程x2+2(m+3)x+2m+4=0的两根为α，β．试求(α-1)2+(β-1)2的最小值或最大值．
72．m为何值时，二次函数y=-4x2+3mx-5m的图象的顶点位置最低？
73．用100米长的铁丝，一面靠墙围成一矩形鸡场．问当矩形面积最大时，它的长比宽长多少米？
74．两人用能砌10米长的墙的砖头，在一堵墙边上，砌一个只有三面围墙的矩形料场．问它的长和宽各为多少时，它的面积最大？
75．函数y=x2-2mx+2m2的最小值是m的什么函数？写出其解析式．再求当m取何值时，此函数取最值？并求最值．-m+1
76．已知抛物线y=x2-(m2+2)x-3m2．-15
(1)求证：不论m取什么实数，此抛物线与x轴必有两个交点．
(2)m取何值时，两交点距离为12？
77．一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为4米和6米，要把它剪成一个矩形，并以这个三角形的直角为矩形的一个角．问怎样剪法，才能使剩下的残料最少？
78．将长为40厘米的铁丝截成两段，每段折成一个正方形．要使这两个正方形面积的和为最小，应怎样截这段铁丝？
79．要建一个直角梯形的存料场，其两邻边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的篱笆，问篱笆两边的长各是多少时，存料场的面积最大？最大面积是多少？
80．如图13-41所示，在一块底边为30厘米，高为20厘米的三角形铁片上剪下一块最大面积的内接矩形，并使它的一边在底边上．求这矩形的长和宽各是多少？
81．等腰梯形ABCD的周长为4米，下底角为60°．问梯形的腰长为多少时，面积最大？最大面积是多少？
82．要建造一地下商店，如图13-42所示，截面是圆拱形，它的上部是半圆，下部是矩形．若截面周长为10米，则半圆的半径为多少米时，截面面积最大？最大面积是多少平方米？(精确到0．1米)
83．已知一元一次方程
(m-2)x2+(m-5)x+m-5=0
有两个不相等的实数根，且m为整数．试求以二次函数
的图象与x轴、y轴相交的三个交点为顶点的三角形面积．
84．设y1和y2都是x的二次函数，且y1+y2=-x2-8x+4．已知当x=m时，y1有最小值，同时y1=y2=-8；当x=-m时，y1=y2=8．求：
(1)m的值；
(2)这两个函数的解析式．
它的对称轴为x=-2，与x轴两交点间的距离为2．求a，b，c的值．
(五)证明
97．求证：a取任何实数时，抛物线
y=x2+2ax+4a-4
的图象与x轴必有交点．
98．已知a，b，c为任何实数(b≠c+a)，求证：抛物线
y=(a-b+c)x2+4(a-b)x+(a-b-c)
与x轴必有公共点．
99．若抛物线
y=(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)
与x轴有且只有一个公共点，则a=b=c．
100．求证：不论x为任何实数时，二次函数y=x2-6x+12的值永远不小于3．
101．求证：m取任何实数时，抛物线
y=2x2-(m+5)x+(m+1)
的图象与x轴必有两个交点．
102．求证：不论x为任何实数时，二次函数y=x2-4x+20的值永远大于零 二次函数练习题答案
（一）填空
1．1，＞0
2．-2，＞0
3．2，小，-1
4．2，大，3
5．（-2，-3），x=-2
6．（1，3），x=1
7．向下，＜0
8．向上，＜0
10．-2，＜0
11．2，＜0
13．y=-2（x-1）2+3
14．y=3（x+2）2-1
15．y=-2x2-4x，y=2x2+4x，y=-2x2+4x
21．（1，0），（-2，0）
25．0
28．1
29．k＜1
30．k＜-1
（二）选择
31．D 32．C 33．C 34．D 35．A 36．B
37．A 38．D 39．B 40．D 41．B 42．A
43．B 44．B 45．C 46．C
（三）求下列函数的解析式
47．y=-x2-x+5．
49．y=-2x2+8x-5．提示：依题意设y=a（x-2）2+3．又它的图象过（3，1）得1=a（3-2）2+3．所以a=-2．由此得y=-2（x-2）2+3，即y=-2x2+8x-5．
式为y=ax2+bx+c（a≠0）．因为它的图象过（1，-3）和（0，-8）点得a+b+c=-3，c=-8．又因为抛物线与x轴两交点间的距离为2得
51．y=x2-x-2．
于y轴，所以抛物线对称轴过（-1，2）点，对称轴为直线x=-1．设抛
物线解析式为：y=a（x+1）2，把x=1，y=-8代入得a=-2，所以抛物线解析式为y=-2（x+1）2，即y=-2x2-4x-2．
53．y=2x2-4x+2．
坐标为（1，-3）或（-1，3）．若抛物线顶点坐标为（1，-3），则设抛物线解析式为y=a（x-1）2-3．又此抛物线过（2，-8）点，所以-8=a（2-1）2-3，解出a=-5．所以y=-5（x-1）2-3，即y=-5x2+10x-8．同理可求顶点为（-1，3）时抛物线解析式为
55．y=2x2-8x+11．提示：当x=2时，y有最小值3．由此可知抛物线顶点为（2，3）．设二次函数解析式为y=a（x-2）2+3，又由过点（1，5）得5=a（1-2）2+3，解得a=2，所以y=2（x-2）2+3，即y=2x2-8x+11．
56．y=-3x2+18x-15或y=3x2-18x+15．
提示：因为抛物线过（1，0）和（5，0）两点，由对称性可得其对称轴为直线x=3，又知其顶点与x轴的距离为12，所以抛物线的顶点坐标为（3，12）或（3，-12）．当抛物线的顶点为（3，12）时，设抛物线解析式为y=a（x-3）2+12．把x=1，y=0代入得0=a（1-3）2+12，所以a=-3．所以抛物线解析式为y=-3（x-3）2+12，即y=-3x2+18x-15．同样可求得抛物线的另一解析式．
57．y=-x2-x+6．
59．y=5x2-5x-2．提示：由题意得x1+x2=1，x1·x2=．又x21+x22=
61．y=x2-2x．提示：当x=1时有最小值-1，说明抛物线的顶点坐标为（1，-1），因此可设二次函数解析式为y=a（x-1）2-1，即y=ax2-2ax+（a-1）．因为α，β为方程ax2-2ax+（a-1）=0的两个实根，所以α+
62．y=3x2-12x+11．
63．y=-4x2+4x+24．
（1，0）和B（6，0），所以它的对称轴为x=3.5．设对称轴与x轴交于D，因为∠C=90°，所以由抛物线的对称
C的坐标为（3.5，2.5）．设此抛物线解析式为y=a（x-3.5）2+2.5，
（四）解下列各题
65．2．提示：方法一 设此二次函数的图象与x轴的两交点的坐
方法二 令方程中的y=0，解4x2-4x-3=0，得二根：x1=，x2=
68．（1）y=2x2-4x-1；（2）x=1时，y最小值=-3；（3）x＜1时，y随x的增大而减小．
69．（1） A（2，1），B（0，-3）；（2）C（1，0），D（3，0）；（3）3．
70．（1）提示：因为△=（-a）2-4×1×（a-2）=a2-4a+8=（a-2）2+4，（a-2）2≥0，所以（a-2）2+4＞0，即△＞0．所以此二次函数的图象与x轴必有两个交点．
（2）a=2时，最小距离为2．提示：设这两个交点分别为（x1，0），（x2，0）．则x1+x2=a，x1·x2=a-2．于是两交点之间距离为：
71．6．提示：由△=4（m+3）2-4（2m+4）=4［（m+2）2+1］＞0，所以m取任何实数时，此二次方程必有两个实根．再由一元二次方程根与系数的关系可得：α+β=-2（m+3），αβ=2m+4．所以（α-1）2+（β-1）2=α2+β2-2（α+β）+2=（α+β）2-2αβ-2（α+β）+2=4（m+3）2-2（2m+4）+4（m+3）+2=4（m+3）2+6．所以当m=-3时，（α-1）2+（β-1）2有最小值6．
73．25米．
74．5米，2.5米．
76．（2）±2．
77．两直角边中点处．提示：如图所示设矩形长为x米，宽为y米．因
直角边的中点处剪开，可使剩下的残料最少．
78．沿铁丝中点剪开．提示：设将铁丝截成的两段长分别为4xcm和（40-4x）cm，依题意得两正方形面积的和为S=x2+（10-x）2=2（x-5）2+50．因为2＞0，所以当x=5时，S取最小值为50，即将铁丝截成相等的两段时，折成的两个正方形的面积之和最小．
79．腰为10米，底为20米，面积为150米2．
80．15cm，10cm．提示：过C作CH⊥AB于H，交GF于M，
长为15cm，宽为10cm时，内接矩形的面积最大．
82．1.3米，7米2．
83．90．
84．（1）2；（2）y1=x2-4x-4，y2=-2x2-4x+8．
（x2，0），其中x1＞x2．因为对称轴为x=-2，所以x1+x2=-4，又知
（五）证明
97．提示：只需证明△=4（a-2）2≥0．
98．提示：只需证明△=4［3（a-b）2+c2］≥0．
99．提示：y=3x2+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac），△=0，即4（a+b+c）2-4×3（ab+bc+ac）=0，所以a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0，即（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=0．又（a-b）2≥0，（b-c）2≥0，（c-a）2≥0，所以只有a-b=0，b-c=0，
100．提示：y=（x-3）2+3．当x=3时函数有最小值3．所以不论x取任何实数时，此二次函数的值永远不小于3．
101．提示：△=（m+1）2+16＞0．
102．提示：因为二次项系数1＞0，△=（-4）2-4×1×20＜0，所以此二次函数的图象永远在x轴上方，即不论x为任何实数，此二次函数的值永远大于零．
最终答案：略
解题过程：
二次函数练习题
(一)填空
1．已知函数y=mxm2+m，当m=______时，它的图象是开口朝上的抛物线；当x______时，其y随x的增大而增大．
2．已知函数y=mxm2+m，当m=______时，它的图象是开口朝下的抛物线；当x______时，其y随x的增大而减小．
3．已知二次函数y=3x2-12x+11，当x=______时，此函数y有最______值，为______．
4．已知二次函数y=-x2+2x+1，当x=______时，此函数y有最______值，为______．
5．函数y=x2+2x-1的图象的顶点坐标是______，其对称轴是______．
6．二次函数y=-2x2+4x+1的图象的顶点坐标是______，其对称轴是______．
7．抛物线y=-x2+3的开口______，当x______时，其y随x的增大而增大．
8．抛物线y=2x2-3的开口______，当x______时，其y随x的增大而减小．
9．函数y=3x-2x2的图象的顶点坐标是______，其对称轴是______．
10．已知函数y=(m-1)xm2+m，当m______时，它的图象是抛物线；当x______时，其y随x的增大而增大．
11．已知函数y=(m+3)xm2+m-4，当m=______时，它的图象是抛物线；当x______时，其y随x的增大而减小．
12．设A，B，C分别为抛物线y=x2-2x-4与y轴的交点，及与x轴的两个交点，则△ABC的面积为______．
13．将抛物线y=-2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线解析式为______．
14．将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线解析式为______．
15．二次函数的图象如图13-34所示，则它的解析式为______．若另一函数的图象与该图象关于x轴对称，则它的解析式为______；若另一函数的图象与该图象关于y轴对称，则它的解析式为______．
16．二次函数的图象如图13-35所示，则它的解析式为______．若另一函数的图象与该图象关于x轴对称，则它的解析式为______；若另一函数的图象与该图象关于y轴对称，则它的解析式为______．
17．若抛物线y=2kx2+(8k-1)x+8k的顶点在x轴的上方，则k的取值范围是______．
18．设A，B，C分别为抛物线y=12x2-25x+12与y轴的交点，及与x轴的两个交点，则△ABC的面积为______．
位，则所得抛物线解析式为______．
20．将抛物线y=-2(x-1)2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线解析式为______．
21．抛物线y=2-x-x2与x轴的交点坐标为______和______．
22．已知抛物线y=2x2-3x-5，当x______时，其y随x的增大而增大；当x______时，y随x的增大而减小．
23．已知抛物线y=1-5x-3x2，当x______时，其y随x的增大而增大；当x______时，y随x的增大而减小．
24．若函数y=(m2-1)x3m2-2m-3是二次函数，则m＝______．
25．若抛物线y=x2-kx+k-1的顶点在y轴上，则k=______．
为______．
27．当x=______时，函数y=-0.4x2+3x-4，有最______值，为______．
28．若抛物线y=(m+3)x2+2x+(m2+2m-3)经过原点，则m=______．
29．若抛物线y=x2+2(k-1)x+3的顶点在y轴的右侧，则k的取值范围是______．
30．若抛物线y=(k+1)x2-3x+2的顶点在y轴的左侧，则k的取值范围是______．
(二)选择
31．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图13-36所示，则下列四组中正确的是 [ ]
A．a＞0，b＞0，c＞0；
B．a＞0，b＜0，c＞0；
C．a＞0，b＞0，c＜0；
D．a＞0，b＜0，c＜0．
32．抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图13-37所示，则下列四组中正确的是 [ ]
A．a＜0，b＞0，c＞0；
B．a＜0，b＞0，c＜0；
C．a＜0，b＜0，c＞0；
D．a＜0，b＜0，c＜0．
33．已知直线x=1是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴(见图13-38)，则 [ ]
A．abc＞0； B．a+b+c＜0；
C．a+b＜b； D．以上结论都不对．
34．如图13-39所示，已知x=1是此抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴，则 [ ]
A．abc＜0； B．a+b+c＞0；
C．b＞a+c； D．3b＜2c．
必须 [ ]
A．向上平移3个单位； B．向下平移3个单位；
C．向左平移3个单位； D．向右平移3个单位．
36．要从抛物线y=-2x2的图象得到y=-2x2-1的图象，则抛物线y=-2x2必须 [ ]
A．向上平移1个单位； B．向下平移1个单位；
C．向左平移1个单位； D．向右平移1个单位．
37．将抛物线y=-3x2的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为 [ ]
A．y=-3(x-1)2-2； B．y=-3(x-1)2+2；
C．y=-3(x+1)2-2； D．y=-3(x+1)2+2．
38．要从抛物线y=2x2得到y=2(x-1)2+3的图象，则抛物线y=2x2必须 [ ]
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位；
B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位；
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位；
D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位．
=-x2必须 [ ]
A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位；
B．向左平移1个单位，再向下平移3个单位；
C．向右平移1个单位，再向上平移3个单位；
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位．
40．函数y=ax2+bx与y=ax+b(ab≠0)的图象是 [ ]
41．y=3x-3与y=x2-x+1交点的个数是 [ ]
A．0； B．1；
C．2； D．不确定．
42．抛物线y=ax2+bx+c(a＜0)的顶点在x轴上方的条件是
[ ]
A．b2-4ac＞0； B．b2-4ac＜0；
C．b2-4ac≥0； D．b2-4ac≤0．
43．抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)的顶点在x轴上方的条件是
[ ]
A．b2-4ac＞0； B．b2-4ac＜0；
C．b2-4ac≥0； D．b2-4ac≤0．
[ ]
45．直线y=-2x+3与抛物线y=x2-x的交点的个数是 [ ]
A．0； B．1；
C．2； D．不能确定．
46．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图13-40所示，则下列四组
条件中正确的是 [ ]
A．b＞0，c＞0，Δ＞0；
B．b＜0，c＜0，Δ＞0；
C．b＞0，c＜0，Δ＜0；
D．b＜0，c＜0，Δ＜0．
(三)求下列函数的解析式
47．已知二次函数的图象经过(1，3)，(-1，5)，(2，-1)三点，求此二次函数的解析式．
求此二次函数的解析式．
49．已知二次函数的顶点坐标为(2，3)，且其图象经过点(3，1)，求此二次函数的解析式．
50．已知二次函数的图象经过(1，-3)及(0，-8)两点，且与x轴的交点间的距离是2，求此二次函数的解析式．
51．已知二次函数的图象与x轴两交点间的距离为3，且经过(1，-2)和(-2，4)两点，求此二次函数的解析式．
52．已知抛物线经过(1，-8)点，顶点在x轴负半轴上，它的对称
抛物线解析式．
53．已知抛物线经过(3，8)点，顶点在x轴正半轴上，它的对称轴
线解析式．
54．已知抛物线经过(2，-8)点，且它的顶点恰是直线y=-3x与双
55．已知二次函数的图象经过点(1，5)，且当x=2时，其y有最小值3，求此二次函数的解析式．
56．抛物线的图象经过(1，0)，(5，0)两点，其顶点与x轴的距离为12，求此抛物线解析式．
57．已知二次函数的图象与x轴交点坐标分别为(2，0)，(-3，0)，且经过点(-2，4)．求此二次函数的解析式．
58．已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别为1和-2，且经过点(3，4)，求此二次函数的解析式．
59．二次函数y=5x2-5x+m的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，
60．已知直线y=kx+b(k≠0)经过点A(6，0)和B(0，4)，又点P
线与y轴交点坐标为(0，2)．求此抛物线解析式．
61．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)．当x=1时，此函数有最小值-1，且方程ax2+bx+c=0的两根α，β满足α2+β2＝4．求此二次函数解析式．
62．已知直线y=2x-5与y=-x+1的交点是一抛物线的顶点，且此抛物线的对称轴平行于y轴，并过点(1，2)．求此抛物线解析式．
大值25，且方程ax2+bx+c＝0的两根α，β满足α2+β2＝19，求此二次函数解析式．
64．已知在直角坐标系内有△ABC，∠C＝90°，且点A(1，0)，B(6，0)和点C皆在x轴上方，求以C为顶点，且过A，B两点的二次函数的解析式．
(四)解下列各题
65．求二次函数y=4x2-4x-3的图象与x轴的两个交点间的距离．
66．已知二次函数的对称轴是直线x=-2，且过(1，1)和(4，4)两点．
(1)写出此函数解析式；
(2)求出这个函数的最大值或最小值；
(3)当x为何值时，此函数y随x的增大而增大？
67．已知二次函数y=x2-5x-6．
(1)求此函数图象的顶点A和其与y轴的交点B的坐标；
(2)求此图象与x轴的交点C和D的坐标；
(3)求△ACD的面积．
68．已知二次函数的对称轴是直线x=1，且过(1，-3)和(3，5)两点．
(1)写出此函数解析式；
(2)求出这个函数的最大值或最小值；
(3)当x为何值时，此函数y随x的增大而减小？
69．已知二次函数y=-x2+4x-3，
(1)求此函数图象的顶点A和其与y轴交点B的坐标；
(2)求此图象与x轴交点C和D的坐标；
(3)求△BCD的面积．
70．已知二次函数y=x2-ax+a-2．
(1)求证：不论a为任何实数值，此二次函数的图象与x轴都有两个交点．
(2)当a为何值时，这两个交点间的距离最小？并求出这个最小距离．
71．设二次方程x2+2(m+3)x+2m+4=0的两根为α，β．试求(α-1)2+(β-1)2的最小值或最大值．
72．m为何值时，二次函数y=-4x2+3mx-5m的图象的顶点位置最低？
73．用100米长的铁丝，一面靠墙围成一矩形鸡场．问当矩形面积最大时，它的长比宽长多少米？
74．两人用能砌10米长的墙的砖头，在一堵墙边上，砌一个只有三面围墙的矩形料场．问它的长和宽各为多少时，它的面积最大？
75．函数y=x2-2mx+2m2的最小值是m的什么函数？写出其解析式．再求当m取何值时，此函数取最值？并求最值．-m+1
76．已知抛物线y=x2-(m2+2)x-3m2．-15
(1)求证：不论m取什么实数，此抛物线与x轴必有两个交点．
(2)m取何值时，两交点距离为12？
77．一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为4米和6米，要把它剪成一个矩形，并以这个三角形的直角为矩形的一个角．问怎样剪法，才能使剩下的残料最少？
78．将长为40厘米的铁丝截成两段，每段折成一个正方形．要使这两个正方形面积的和为最小，应怎样截这段铁丝？
79．要建一个直角梯形的存料场，其两邻边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的篱笆，问篱笆两边的长各是多少时，存料场的面积最大？最大面积是多少？
80．如图13-41所示，在一块底边为30厘米，高为20厘米的三角形铁片上剪下一块最大面积的内接矩形，并使它的一边在底边上．求这矩形的长和宽各是多少？
81．等腰梯形ABCD的周长为4米，下底角为60°．问梯形的腰长为多少时，面积最大？最大面积是多少？
82．要建造一地下商店，如图13-42所示，截面是圆拱形，它的上部是半圆，下部是矩形．若截面周长为10米，则半圆的半径为多少米时，截面面积最大？最大面积是多少平方米？(精确到0．1米)
83．已知一元一次方程
(m-2)x2+(m-5)x+m-5=0
有两个不相等的实数根，且m为整数．试求以二次函数
的图象与x轴、y轴相交的三个交点为顶点的三角形面积．
84．设y1和y2都是x的二次函数，且y1+y2=-x2-8x+4．已知当x=m时，y1有最小值，同时y1=y2=-8；当x=-m时，y1=y2=8．求：
(1)m的值；
(2)这两个函数的解析式．
它的对称轴为x=-2，与x轴两交点间的距离为2．求a，b，c的值．
(五)证明
97．求证：a取任何实数时，抛物线
y=x2+2ax+4a-4
的图象与x轴必有交点．
98．已知a，b，c为任何实数(b≠c+a)，求证：抛物线
y=(a-b+c)x2+4(a-b)x+(a-b-c)
与x轴必有公共点．
99．若抛物线
y=(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)
与x轴有且只有一个公共点，则a=b=c．
100．求证：不论x为任何实数时，二次函数y=x2-6x+12的值永远不小于3．
101．求证：m取任何实数时，抛物线
y=2x2-(m+5)x+(m+1)
的图象与x轴必有两个交点．
102．求证：不论x为任何实数时，二次函数y=x2-4x+20的值永远大于零 二次函数练习题答案
（一）填空
1．1，＞0
2．-2，＞0
3．2，小，-1
4．2，大，3
5．（-2，-3），x=-2
6．（1，3），x=1
7．向下，＜0
8．向上，＜0
10．-2，＜0
11．2，＜0
13．y=-2（x-1）2+3
14．y=3（x+2）2-1
15．y=-2x2-4x，y=2x2+4x，y=-2x2+4x
21．（1，0），（-2，0）
25．0
28．1
29．k＜1
30．k＜-1
（二）选择
31．D 32．C 33．C 34．D 35．A 36．B
37．A 38．D 39．B 40．D 41．B 42．A
43．B 44．B 45．C 46．C
（三）求下列函数的解析式
47．y=-x2-x+5．
49．y=-2x2+8x-5．提示：依题意设y=a（x-2）2+3．又它的图象过（3，1）得1=a（3-2）2+3．所以a=-2．由此得y=-2（x-2）2+3，即y=-2x2+8x-5．
式为y=ax2+bx+c（a≠0）．因为它的图象过（1，-3）和（0，-8）点得a+b+c=-3，c=-8．又因为抛物线与x轴两交点间的距离为2得
51．y=x2-x-2．
于y轴，所以抛物线对称轴过（-1，2）点，对称轴为直线x=-1．设抛
物线解析式为：y=a（x+1）2，把x=1，y=-8代入得a=-2，所以抛物线解析式为y=-2（x+1）2，即y=-2x2-4x-2．
53．y=2x2-4x+2．
坐标为（1，-3）或（-1，3）．若抛物线顶点坐标为（1，-3），则设抛物线解析式为y=a（x-1）2-3．又此抛物线过（2，-8）点，所以-8=a（2-1）2-3，解出a=-5．所以y=-5（x-1）2-3，即y=-5x2+10x-8．同理可求顶点为（-1，3）时抛物线解析式为
55．y=2x2-8x+11．提示：当x=2时，y有最小值3．由此可知抛物线顶点为（2，3）．设二次函数解析式为y=a（x-2）2+3，又由过点（1，5）得5=a（1-2）2+3，解得a=2，所以y=2（x-2）2+3，即y=2x2-8x+11．
56．y=-3x2+18x-15或y=3x2-18x+15．
提示：因为抛物线过（1，0）和（5，0）两点，由对称性可得其对称轴为直线x=3，又知其顶点与x轴的距离为12，所以抛物线的顶点坐标为（3，12）或（3，-12）．当抛物线的顶点为（3，12）时，设抛物线解析式为y=a（x-3）2+12．把x=1，y=0代入得0=a（1-3）2+12，所以a=-3．所以抛物线解析式为y=-3（x-3）2+12，即y=-3x2+18x-15．同样可求得抛物线的另一解析式．
57．y=-x2-x+6．
59．y=5x2-5x-2．提示：由题意得x1+x2=1，x1·x2=．又x21+x22=
61．y=x2-2x．提示：当x=1时有最小值-1，说明抛物线的顶点坐标为（1，-1），因此可设二次函数解析式为y=a（x-1）2-1，即y=ax2-2ax+（a-1）．因为α，β为方程ax2-2ax+（a-1）=0的两个实根，所以α+
62．y=3x2-12x+11．
63．y=-4x2+4x+24．
（1，0）和B（6，0），所以它的对称轴为x=3.5．设对称轴与x轴交于D，因为∠C=90°，所以由抛物线的对称
C的坐标为（3.5，2.5）．设此抛物线解析式为y=a（x-3.5）2+2.5，
（四）解下列各题
65．2．提示：方法一 设此二次函数的图象与x轴的两交点的坐
方法二 令方程中的y=0，解4x2-4x-3=0，得二根：x1=，x2=
68．（1）y=2x2-4x-1；（2）x=1时，y最小值=-3；（3）x＜1时，y随x的增大而减小．
69．（1） A（2，1），B（0，-3）；（2）C（1，0），D（3，0）；（3）3．
70．（1）提示：因为△=（-a）2-4×1×（a-2）=a2-4a+8=（a-2）2+4，（a-2）2≥0，所以（a-2）2+4＞0，即△＞0．所以此二次函数的图象与x轴必有两个交点．
（2）a=2时，最小距离为2．提示：设这两个交点分别为（x1，0），（x2，0）．则x1+x2=a，x1·x2=a-2．于是两交点之间距离为：
71．6．提示：由△=4（m+3）2-4（2m+4）=4［（m+2）2+1］＞0，所以m取任何实数时，此二次方程必有两个实根．再由一元二次方程根与系数的关系可得：α+β=-2（m+3），αβ=2m+4．所以（α-1）2+（β-1）2=α2+β2-2（α+β）+2=（α+β）2-2αβ-2（α+β）+2=4（m+3）2-2（2m+4）+4（m+3）+2=4（m+3）2+6．所以当m=-3时，（α-1）2+（β-1）2有最小值6．
73．25米．
74．5米，2.5米．
76．（2）±2．
77．两直角边中点处．提示：如图所示设矩形长为x米，宽为y米．因
直角边的中点处剪开，可使剩下的残料最少．
78．沿铁丝中点剪开．提示：设将铁丝截成的两段长分别为4xcm和（40-4x）cm，依题意得两正方形面积的和为S=x2+（10-x）2=2（x-5）2+50．因为2＞0，所以当x=5时，S取最小值为50，即将铁丝截成相等的两段时，折成的两个正方形的面积之和最小．
79．腰为10米，底为20米，面积为150米2．
80．15cm，10cm．提示：过C作CH⊥AB于H，交GF于M，
长为15cm，宽为10cm时，内接矩形的面积最大．
82．1.3米，7米2．
83．90．
84．（1）2；（2）y1=x2-4x-4，y2=-2x2-4x+8．
（x2，0），其中x1＞x2．因为对称轴为x=-2，所以x1+x2=-4，又知
（五）证明
97．提示：只需证明△=4（a-2）2≥0．
98．提示：只需证明△=4［3（a-b）2+c2］≥0．
99．提示：y=3x2+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac），△=0，即4（a+b+c）2-4×3（ab+bc+ac）=0，所以a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0，即（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=0．又（a-b）2≥0，（b-c）2≥0，（c-a）2≥0，所以只有a-b=0，b-c=0，
100．提示：y=（x-3）2+3．当x=3时函数有最小值3．所以不论x取任何实数时，此二次函数的值永远不小于3．
101．提示：△=（m+1）2+16＞0．
102．提示：因为二次项系数1＞0，△=（-4）2-4×1×20＜0，所以此二次函数的图象永远在x轴上方，即不论x为任何实数，此二次函数的值永远大于零．
最终答案：略