S(x)=x^4/(24)+x^6/(246)+x^8/(2468)+...(1)求满足S(x)的一阶微分方

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 00:28:59

S(x)=x^4/(2*4)+x^6/(2*4*6)+x^8/(2*4*6*8)+...(1)求满足S(x)的一阶微分方程(2)解(1)中的微分方程求S(x)

（1）对S(x)求导一次（之所以求一次,是根据式子的特征来的）,得到
S`(x)=x(x^2/2+x^4/(2*4)+x^6/(2*4*6)+x^8/(2*4*6*8)+...)
=x(x^2/2+S(x))
其中,由原式易求的,
S(0)=0
所以转化成S(x)的一阶微分方程的初值问题
有S`(x)=x(x²/2+S(x)),其中S(0)=0
（2）显然,令S(x)=y,有
y`-xy=x^3/2
根据y`+P(x)y=Q(x)型的微分方程求解公式,即
y=exp(-∫P(x)dx)(C+∫exp(∫P(x)dx)Q(x)dx)
代入式子,得
y=exp(-∫-xdx)(C+∫exp(∫-xdx)x^3/2dx)
=exp(x²/2)(C+∫exp(-x²/2)x^3/2dx)
对∫exp(-x²/2)x^3/2dx进行分部积分求解,有
∫exp(-x²/2)x^3/2dx=∫-x²/2dexp(-x²/2)
=-x²/2exp(-x²/2)+∫exp(-x²/2)d(x²/2)
=-x²/2exp(-x²/2)-∫exp(-x²/2)d(-x²/2)
=-x²/2exp(-x²/2)-exp(-x²/2)
=-exp(-x²/2)(x²/2+1)
所以,y=exp(x²/2)[C-exp(-x²/2)(x²/2+1)]
又y(0)=0,代入可得C-1=0即C=1
所以,y=exp(x²/2)[1-exp(-x²/2)(x²/2+1)]
=exp(x²/2)-x²/2-1
综上所述,所求S(x)=exp(x²/2)-x²/2-1
呼呼~求完之后才发现,原来就是一个迈克劳林展开式变形而已...
不错,很不错的题目

已知 X=4- 根号3 求 (X*X*X*X-6X*X*X-2X*X+18X+23) / (X*X-8X+15)的值已知1+x+x^2+x^3=0,求x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8的值已知1+x+x^2+x^3=0,求x+x^2+x^3+x^4+x^+x^6+x^7+x^8的值对于和式S=|2X-1|+|3X-1|+|4X-1|+|5X-1|+|6X-1|+|7X-1|+|8X-1|+|9X-1 解一元二次方程：x方+6x=1:；x方-14x=8；x方+2x+2=8x+4 设x＞0,且x方-2x-9=0,求lg（x方+x-6）-lg（x方+4x+15）的值用秦九韶算法求多项式f（X）=7X方+6X方+5X方+4X方+3X方+2X方+X当x=3时的值 x的方+5x+4分之x方-5x+6乘以x方-4x+3分之2x方+3x+1除以x方-16分之2x方-3x-12 已知x、y、z为三个非负有理数,且满足4x-3y-6z=3,x+2y-7z=8,若s=2x+y-z,试求s的最大值或最小计算x的2方+3x+2分之x-1+2+x-x的2方分之6-4-x的2方分之10-x= y=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)(x-9)(x-10)的导数在x=1 已知x=2π+1求 |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x