AB.AC是圆的两条弦,M N分别为弧AB AC的中点

∵AM：MN：NC=1:2:3,且MN=4cm∴AC=MN/2*(1+2+3)=4/2*6=12cm又∵AC=二分之三AB∴AB=三分之二AC=三分之二*12=8cm

证明：设MN⊥AB,MN交圆O于M,N点则MN必过圆心【垂直平分弦的直径必过圆心】∴MN是直径∵AB//CD∴MN⊥CD∴MN垂直平分CD【垂直于弦的直径平分弦】

证明：方法一：连接AM、AN、BM、CN因为M、N分别是弧AB、AC的中点所以∠MAB＝∠B＝∠ANM,∠AMN＝∠C＝∠CAN而∠ADE＝∠AMN＋∠MAB,∠AED＝∠CAN＋∠ANM所以∠ADE

∵MN是AB的垂直平分线∴AN=NB∴三角形BNC的周长=BC+BN+NC=BC+AN+NC=BC+AC∵AB=AC∴三角形BNC的周长=BC+AC=AB+BC=10cm(2)三角形BNC的周长为20

因为M为AB中点（已知）所以MB=1/2AB（中点定义）因为N为CB中点（已知）所以NB=1/2CB(中点定义）因为AB-CB=AC=9(已知）因为MN=1/2AB-1/2CB(已知）所以MN=1/2

因为M,N将线段AC分成1：2：3三部分所以：MN=1/3AC因为MN=4cm所以AC=12cmAB=8cm注：画图求解.

 证明：（如图）连接ON、OM∵N为AC弧中点∴ON⊥AC（平分弧所对的一条弧的直径,垂直平分弦）∴∠1、∠2互余∵AD＝AE（已知） ∴∠3＝∠4（三角形中等边对等角）而∠5＝∠

证明：∵OM⊥AB,ON⊥AC∴AM=BM,AN=CN（根据垂径定理）∴MN是△ABC的中位线∴MN‖BC

MC=1/2ACNC=1/2BCMN=MC+NC=1/2(AC+BC)=1/2AB=10

自己画个图吧,不难.我这里说的是,C点在M点右侧的情况AM=MB,CN=NBMN=MB-NB=AM-CN=AM-(MN-MC)=AM+MC-MN=AC-MN所以,2MN=AC=9,MN=4.5C点在M

证明：MN=AC连接CM∵△ABC是Rt△∴MC=1/2AB∵M是AB的中点∴AM=1/2AB∴AM=CM∴∠MCA=∠MAC∵MN‖AC∴∠ANM=∠MAC∴∠ANM=∠MCA∴∠MAN=∠AMC∴

根据图形及题意可得：MN=MC+CN=12AC+12BC=12AB=12a．故答案为：MC，CN，12，12，12a．

∵MN将线段AB分成1：3:4三部分∴AB=(1+3+4)/3MN=8MN/3∵点C是线段AB延长线上的一点,AB/AC=5/8∴NB=4AB/(1+3+4)=AB/2=5AC/161.若MN=6cm

因为M,N分别是AB,AC的中点,所以AM=AB/2,AN=AC/2,因为AB--AC=BC=10厘米,所以MN=AM--AN=AB/2--AC/2=(AB--AC)/2=10/2=5厘米.

（1）连接DO,与AC交于点E,因为角B为弧ADC的圆周角,角AOD为弧AD对的圆心角,又弧AD=弧DC,所以角B=角AOD,因为角B+角BAC=角AOD+角BAC=90度,所以角OEA=90度,所以

连接OM、ON,因为OM＝ON,所以∠M＝∠N.因为N为弧AC中点,所以ON⊥AC,因为AD＝AE,所以∠ADE＝∠AED所以∠M＋∠MOB＝∠N＋∠NEC＝90°,所以OM⊥AB,即M为弧AB的中点

5cm

连接AO,BO,CO,DO.等腰三角形ABO,由等腰三角形三线合一知MN过圆心O.又MN垂直AB,AB平行CD所以MN垂直CD.等腰三角形CDO,由等腰三角形三线合一知MN就是CD的垂直平分线.

锐角三角形或等要三角形或等边三角行再问：等边三角形给个证明谢谢再答：连BC，当三角形ABC是等边三角形的时候，三角形AEF是等边三角形证明：连CM，CN，则CM必过圆心，而且CM⊥AB（等边三角形的外

是的.证明：连接BN,连接CM.角AEF＝角MEB（对顶角相等）；角MEB＝角MNB＋角NBA同理：角AFE＝角NFC＝角MCA＋角NMC而角MNB是对应弧MB的圆周角,角MCA是对应弧MA的圆周角,