矩阵A正定,X为n维列向量,求证0-搜答案-搜狗做题网

用正交阵定义验证.经济数学团队帮你解答.请及时评价.

1.对A做谱分解,利用2-范数的酉不变性,可以不妨设A是对角阵2.利用齐次性,把A乘上一个正实数后结论不变,所以可不妨设A的最大特征值和最小特征值的乘积是1接下来就好办了,记A的特征值为d_1>=d_

显然aa^T的特征值是a^Ta和n-1个0,所以A的特征值大于零再问：额，能详细正下么

直接验证.a是单位列向量,所以aTa=1AT=ET-2(aaT)T=E-2aaT所以是对称阵.ATA＝（E-2aaT）（E-2aaT）＝E－2aaT-2aaT＋4aaTaaT=E这说明A是正交阵.

证：因为A为正交矩阵,所以A^TA=E(单位矩阵)从而||Aa||=√(Aa)^T(Aa)=√a^TA^TAa=√a^Ta=||a||再问：||a||?==√a^Ta这是为什么再答：不谢，那是公式。

X'是转置,列向量转置成行向量

证明:必要性因为ABX=0与BX=0同解所以它们的基础解系所含向量的个数相同所以n-r(AB)=n-r(B)即有r(AB)=r(B).充分性.易知BX=0的解都是ABX=0的解而BX=0的基础解系含n

因为A为正交矩阵所以A^TA=E.所以[Aa1,Aa2]=(Aa1)^T(Aa2)=a1^TA^TAa2=a1^Ta2=[a1,a2]

0是可以取到的,除非要求x非零非负这部分显然,只要知道正定矩阵的逆也正定即可小于1这部分可以用Shermann-Morrison公式:(A+xx')^{-1}=A^{-1}-A^{-1}xx'A^{-

证:首先(A^TA)^T=A^T(A^T)^T=A^TA故A^TA是对称矩阵.又对任一非零列向量x由r(A)=n知AX=0只有零解所以Ax≠0再由A是实矩阵,所以(Ax)^T(Ax)>0即x^T(A^

你这个问题有一个证明方法就是证明A至少存在一个非零的特征值.假设A不存在一个非零的特征值,所有的特征值都是0,则A=0,矛盾,因此A至少存在一个非零的特征值,假设其对应的特征向量为X,那么XTAX就不

AXX^T0合同于A00-X^TAX再问：��ô��ͬ�ģ�再答：��,��½�Ӧ��д-X^TA^{-1}X,��ÿ�Gauss��ȥ��,��A��ȥX��Ȼ,��Ϊ��һ��

（1）必要性是显然的.因为既然ABX=0与BX=0已经同解,那它们的基础解系里的向量数当然应该相同,也就是说s-r(AB)=s-r(B)故r(AB)=r(B)（2）充分性就是要由“r(AB)=r(B)

||Px||=1,具体展开根据范数的定义再问：我只学过这个三个性质，但似乎都无法用来解这个题：⒈║x║≥0，且║x║=0x=0；⒉║cx║=│c│║x║；⒊║x+y║≤║x║+║y║。而且我这个教材上

设X为任意列向量X'(A+B)X=X'AX+X'BX>0所以A+B为正定矩阵

正定的充分必要条件是所有特征值为正,故可如图证明.经济数学团队帮你解答,请及时采纳.谢谢!

1、当m为偶数时,A^m=[A^(m/2)]'[A^(m/2)]为正定阵2、当m为奇数时,A^m=A^((m-1/)2)AA^((m-1)/2)=[A^((m-1/)2)]'AA^((m-1)/2)=

证:对任一n维向量x≠0因为r(A)=n,所以Ax≠0--这是由于AX=0只有零解所以(Ax)'(Ax)>0.即有x'A'Ax>0所以A'A为正定矩阵.注:A'即A^T

1.A是实矩阵时正确x满足A^TAx=0,则x^TA^TAx=0,即有(Ax)^T(Ax)=0,故有Ax=02.不对.不管A是否可逆,Ax=0时,(等式两边左乘A^T)都有A^TAx=0.