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设l为曲线C:y=lnxx在点(1,0)处的切线.

来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/05 20:18:08
设l为曲线C:y=
lnx
x
设l为曲线C:y=lnxx在点(1,0)处的切线.
(Ⅰ)∵y=
lnx
x
∴y′=
1−lnx
x2
∴l的斜率k=y′|x=1=1
∴l的方程为y=x-1
证明:(Ⅱ)令f(x)=x(x-1)-lnx,(x>0)
曲线C在直线l的下方,即f(x)=x(x-1)-lnx>0,
则f′(x)=2x-1-
1
x=
(2x+1)(x−1)
x
∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,又f(1)=0
∴x∈(0,1)时,f(x)>0,即
lnx
x<x-1
x∈(1,+∞)时,f(x)>0,即
lnx
x<x-1
即除切点(1,0)之外,曲线C在直线l的下方