搜狗做题网一道大学高数求极限的题目,紧急求助!
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/13 20:06:09
一道大学高数求极限的题目,紧急求助!
f(x)=1+1/2+...+1/2^n
g(x)=1+1/3+...+1/3^n
lim(n→∝）=f(x)/g(x)
求详细过程!
f(x)=1+1/2+...+1/2^n
g(x)=1+1/3+...+1/3^n
lim(n→∝）=f(x)/g(x)
求详细过程!
可以利用等价无穷小来做,当x趋于0时,e^x和x+1是等价无穷小,e^x~x+1;x和sinx是等价无穷小,sinx
a^x=e^(xlna)~xlna+1
a^sinx=e^(sinxlna)~sinxlna+1
代入后原式等于 limx→0[(xlna+1)-(sinxlna+1)]/(sinx)^3
=limx→0[lna(x-sinx)]/(sinx)^3
再利用罗比达法则,对分子分母分别求导两次得到下面的结果
limx→0sinxlna/[6sinx(cosx)^2-3(sinx)^3]
约去一个sinx后再把x=0代入即可,最后结果为lna/6
a^x=e^(xlna)~xlna+1
a^sinx=e^(sinxlna)~sinxlna+1
代入后原式等于 limx→0[(xlna+1)-(sinxlna+1)]/(sinx)^3
=limx→0[lna(x-sinx)]/(sinx)^3
再利用罗比达法则,对分子分母分别求导两次得到下面的结果
limx→0sinxlna/[6sinx(cosx)^2-3(sinx)^3]
约去一个sinx后再把x=0代入即可,最后结果为lna/6