搜狗做题网已知动点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1个单位长度．
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/08 16:14:05
已知动点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1个单位长度．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点A、B和M、N，设线段AB、MN的中点分别为P、Q，求证：直线PQ恒过一个定点．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点A、B和M、N，设线段AB、MN的中点分别为P、Q，求证：直线PQ恒过一个定点．
（1） 设动点M的坐标为（x，y），
由题意，∵动点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1个单位长度
∴
(x-1)2+y2=|x|+1
化简得y2=4x或y=0（x≤0），
所以点M的轨迹C的方程为y2=4x或y=0（x≤0）．
（2）证明：设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则点P的坐标为（
x1+x2
2，
y1+y2
2）．
由题意可设直线l1的方程为y=k（x-1）（k≠0），
由
y=k(x-1)
y2=4x得k2x2-（2k2+4）x+k2=0．
△=（2k2+4）2-4k4=16k2+16＞0，x1+x2=2+
4
k2，y1+y2=k（x1+x2-2）=
4
k．
所以点P的坐标为（1+
2
k2，
2
k）．
由题知，直线l2的斜率为-
1
k，同理可得点的坐标为（1+2k2，-2k）．
当k≠±1时，有1+
2
k2≠1+2k2，此时直线PQ的斜率kPQ=
k
1-k2．
所以，直线PQ的方程为y+2k=
k
1-k2（x-1-2k2），
整理得yk2+（x-3）k-y=0，于是，直线PQ恒过定点E（3，0）；
当k=±1时，直线PQ的方程为x=3，也过点E（3，0）．
综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）．
由题意，∵动点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1个单位长度
∴
(x-1)2+y2=|x|+1
化简得y2=4x或y=0（x≤0），
所以点M的轨迹C的方程为y2=4x或y=0（x≤0）．
（2）证明：设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则点P的坐标为（
x1+x2
2，
y1+y2
2）．
由题意可设直线l1的方程为y=k（x-1）（k≠0），
由
y=k(x-1)
y2=4x得k2x2-（2k2+4）x+k2=0．
△=（2k2+4）2-4k4=16k2+16＞0，x1+x2=2+
4
k2，y1+y2=k（x1+x2-2）=
4
k．
所以点P的坐标为（1+
2
k2，
2
k）．
由题知，直线l2的斜率为-
1
k，同理可得点的坐标为（1+2k2，-2k）．
当k≠±1时，有1+
2
k2≠1+2k2，此时直线PQ的斜率kPQ=
k
1-k2．
所以，直线PQ的方程为y+2k=
k
1-k2（x-1-2k2），
整理得yk2+（x-3）k-y=0，于是，直线PQ恒过定点E（3，0）；
当k=±1时，直线PQ的方程为x=3，也过点E（3，0）．
综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）．
已知动点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1个单位长度．
已知动点M到点F（1,0）的距离等于它到直线x=-1的距离
到点F（0,4）的距离比它到直线y=-5的距离小于1的动点M的轨迹方程为?
已知点M到点F(3,0)的距离比它到y轴的距离大3,求点M的轨迹方程,
点M到点F(0,4)的距离比它到直线l:y+3=0的距离大1,求点M满足的方程?
（2011•武汉模拟）已知动点M（x、y）到点F（4，0）的距离比到直线x+5=0的距离小1，则点M的轨迹方程为（ ）
一个动点到点F（0，-4）距离比到直线y-3=0的距离多1，则动点的轨迹方程为______．
已知动点P到点F(1,0)的距离与它到直线x=4的距离之比为1/2
1、动点M(X,Y)到点F(4,0)的距离比它到直线X+5=0的距离小1,则点M的轨迹方程是________.
已知曲线C上任意一点M到点F（0,1）的距离比它到直线L：y=-2的距离小1
已知动点M(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍..(Ⅰ
已知动点M到点F(1,0)的距离等于它到直线x=-1的距离.（1）求点M的轨迹C的方程.（2）过点F任意相互垂直的两条直