求解一道高中数学竞赛题(斯特瓦尔特定理)
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/17 17:42:07
求解一道高中数学竞赛题(斯特瓦尔特定理)
已知AE为三角形角平分线,BS=EC,求证AS²-AE²=(AB-AC)²
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/dc/ddc022d74c68ee971c071a4d13754344.jpg)
已知AE为三角形角平分线,BS=EC,求证AS²-AE²=(AB-AC)²
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/dc/ddc022d74c68ee971c071a4d13754344.jpg)
![求解一道高中数学竞赛题(斯特瓦尔特定理)](/uploads/image/z/11327581-37-1.jpg?t=%E6%B1%82%E8%A7%A3%E4%B8%80%E9%81%93%E9%AB%98%E4%B8%AD%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%AB%9E%E8%B5%9B%E9%A2%98%EF%BC%88%E6%96%AF%E7%89%B9%E7%93%A6%E5%B0%94%E7%89%B9%E5%AE%9A%E7%90%86%EF%BC%89)
由斯特瓦尔特定理:
AB^2*EC+AC^2*BE-AE^2*BC=BE*EC*BC-----------1
AB^2*SC+AC^2*BS-AS^2*BC=BS*SC*BC------------2
因为BS=EC,
所以BE=SC
则1-2式得
AB^2(EC-SC)+AC^2(BE-BS)-(AE^2-AS^2)*BC=BE*EC*BC-BS*SC*BC=0
即-AB^2*SE+AC^2*SE=(AE^2-AS^2)*BC---------------(*)
而AE是角平分线
所以SC=BE=BC*AB/(AB+AC)
CE=BC*AC/(AB+AC)
则SE=SC-CE=BC*(AB-AC)/(AB+AC)
于是(*)式化为
(AC^2-AB^2)*BC*(AB-AC)/(AB+AC)=(AE^2-AS^2)*BC
(AB-AC)^2=AS^2-AE^2
AB^2*EC+AC^2*BE-AE^2*BC=BE*EC*BC-----------1
AB^2*SC+AC^2*BS-AS^2*BC=BS*SC*BC------------2
因为BS=EC,
所以BE=SC
则1-2式得
AB^2(EC-SC)+AC^2(BE-BS)-(AE^2-AS^2)*BC=BE*EC*BC-BS*SC*BC=0
即-AB^2*SE+AC^2*SE=(AE^2-AS^2)*BC---------------(*)
而AE是角平分线
所以SC=BE=BC*AB/(AB+AC)
CE=BC*AC/(AB+AC)
则SE=SC-CE=BC*(AB-AC)/(AB+AC)
于是(*)式化为
(AC^2-AB^2)*BC*(AB-AC)/(AB+AC)=(AE^2-AS^2)*BC
(AB-AC)^2=AS^2-AE^2