搜狗做题网一道高三的数学题 函数问题 数学高手进
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/04 05:56:12
一道高三的数学题 函数问题 数学高手进
设f(x)=e^x-a(x+1)
（1）若a＞0,f（x）≥0对一切x属于R恒成立,求a的最大值
（2）设g（x）=f（x）+a/e^x,且A（x1,y1）,B（x2,y2）（x1≠x2）是曲线y=g（x）上任意两点,若对任意的a≤-1,直线AB的斜率恒大于常数m,求m的取值范围
（3）求证：1^n+3^n+...+（2n-1）^n＜【根号下e/（e-1）】（2n）^n（n属于n正）
设f(x)=e^x-a(x+1)
（1）若a＞0,f（x）≥0对一切x属于R恒成立,求a的最大值
（2）设g（x）=f（x）+a/e^x,且A（x1,y1）,B（x2,y2）（x1≠x2）是曲线y=g（x）上任意两点,若对任意的a≤-1,直线AB的斜率恒大于常数m,求m的取值范围
（3）求证：1^n+3^n+...+（2n-1）^n＜【根号下e/（e-1）】（2n）^n（n属于n正）
讲解（纯手打,解题步骤,可参照之前那位网友的图片）：
（1）这一问是一个恒成立问题,对于恒成立问题,一般是要求出最值的,题中说：
f（x）≥0恒成立,这就说明在函数定义域内,f（x）的最小值要大于或等于0,相对的如果题目说f（x）≤0,则说明函数最大值要小于或等于0,那么问题就转化成求函数最值的问题,由于高中所学的函数全是初等函数,所以在定义域内一定可导,所以只要在定义域内你大可放心去求导,进而去求极值,本题只有极小值,所以也是最小值（如果有极大值又有极小值,或者含有边界值,则要根据题意,比较出一个最大值或是最小值）,求出的极小值是,当x=lna时,f(x)为极小值,即f(lna)≥0,解出a≤1,则a最大值为1
（2）这一问仍然是恒成立问题,所以仍然需要求最值,由斜率问题联想到导数,写出AB斜率的表达式,并且代入g(x)表达式,式子,就是答案里的式子（答案中的式子,其实是拉格朗日中值定理的变形,因为高中不学这个定理）,把式子变形得到,g(x2)-mx2 ＞ g(x1)-mx1,到这问题的核心就出现了!由AB斜率大于m恒成立,将这个条件转化为g(x2)-mx2 ＞ g(x1)-mx1恒成立,这两个式子在题目所给的条件下是等价的,所以你解出g(x2)-mx2 ＞ g(x1)-mx1,也就解出了原题.
现在就是对g(x2)-mx2 ＞ g(x1)-mx1这类式子的处理了,这类式子的共同特点就不等号左右两边的表达式的形式是一样的,那么遇到这种证明恒成立的问题,你可以向这个方面考虑,具体方法就是：令一个函数F（x）=不等号一边的式子,将X1或X2改成x,本题就是F（x）=g(x)-mx,而一般遇到X1≠X2,则可以直接令X1＞X2,或X1＜X2,这样就转化成F(X1)与F(X2),比较大小的问题了,那么对于函数在不同点的大小问题可以用函数的单调性来解答,进而去判断F(X)的单调性,很自然地就是求导,在这时,你如果是令X2＞X1,那么F(X)就是单调增函数（对于本题而言）,那么解答就如答案所示,如果你令X2
（1）这一问是一个恒成立问题,对于恒成立问题,一般是要求出最值的,题中说：
f（x）≥0恒成立,这就说明在函数定义域内,f（x）的最小值要大于或等于0,相对的如果题目说f（x）≤0,则说明函数最大值要小于或等于0,那么问题就转化成求函数最值的问题,由于高中所学的函数全是初等函数,所以在定义域内一定可导,所以只要在定义域内你大可放心去求导,进而去求极值,本题只有极小值,所以也是最小值（如果有极大值又有极小值,或者含有边界值,则要根据题意,比较出一个最大值或是最小值）,求出的极小值是,当x=lna时,f(x)为极小值,即f(lna)≥0,解出a≤1,则a最大值为1
（2）这一问仍然是恒成立问题,所以仍然需要求最值,由斜率问题联想到导数,写出AB斜率的表达式,并且代入g(x)表达式,式子,就是答案里的式子（答案中的式子,其实是拉格朗日中值定理的变形,因为高中不学这个定理）,把式子变形得到,g(x2)-mx2 ＞ g(x1)-mx1,到这问题的核心就出现了!由AB斜率大于m恒成立,将这个条件转化为g(x2)-mx2 ＞ g(x1)-mx1恒成立,这两个式子在题目所给的条件下是等价的,所以你解出g(x2)-mx2 ＞ g(x1)-mx1,也就解出了原题.
现在就是对g(x2)-mx2 ＞ g(x1)-mx1这类式子的处理了,这类式子的共同特点就不等号左右两边的表达式的形式是一样的,那么遇到这种证明恒成立的问题,你可以向这个方面考虑,具体方法就是：令一个函数F（x）=不等号一边的式子,将X1或X2改成x,本题就是F（x）=g(x)-mx,而一般遇到X1≠X2,则可以直接令X1＞X2,或X1＜X2,这样就转化成F(X1)与F(X2),比较大小的问题了,那么对于函数在不同点的大小问题可以用函数的单调性来解答,进而去判断F(X)的单调性,很自然地就是求导,在这时,你如果是令X2＞X1,那么F(X)就是单调增函数（对于本题而言）,那么解答就如答案所示,如果你令X2