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求问高等代数题.等价合同相似正交相似关系,

来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/04 18:12:08
求问高等代数题.等价合同相似正交相似关系,
设M是所有n阶实对称矩阵的集合,问分别按（1）等价关系；（2）合同关系；（3）相似关系；（4）正交相似关系,来分类有多少个等价类,并写出第一个等价类的标准形矩阵.
求问高等代数题.等价合同相似正交相似关系,
(1) 任意矩阵总可以由初等变换化为[Er,0;0,0],其中r是矩阵的秩.
由于初等变换保持矩阵的秩,所以对不同的r,[Er,0;0,0]属于不同的等价类.
于是[Er,0;0,0],r = 0,1,2,...,n,给出了矩阵的相抵标准型.
又[Er,0;0,0]也是实对称阵,所以实对称阵包含所有的n+1个相抵等价类.
相抵标准型就是[Er,0;0,0],r = 0,1,...,n.
(2) 实对称阵合同等价于[Ep,0,0;0,-Eq,0;0,0,0],其中p,q分别为正负惯性指数.
合同变换保持惯性指数,[Ep,0,0;0,-Eq,0;0,0,0]给出了实对称阵的合同标准型.
满足p+q ≤ n的有序非负整数对(p,q)共(n+1)+n+...+1+0 = (n+2)(n+1)/2组.
即共有(n+2)(n+1)/2个合同等价类.
(3)(4)可以一起说,因为实对称阵一定(正交)相似于实对角阵,
而两个对角阵(正交)相似当且仅当特征值完全相同(不计次序).
因此实对称阵的(正交)相似标准型为对角元λ1 ≤ λ2 ≤...≤ λn的实对角阵.
等价类有无穷多个.
再问： 证明反对称矩阵的秩为偶数
再答： 首先, 若一个反对称阵满秩, 则其阶数为偶数.
因为若A为奇数阶反对称阵, 由A' = -A, 取行列式得:
|A| = |A'| = |-A| = (-1)^n·|A| = -|A| (A的阶数n为奇数), 故|A| = 0, A不满秩.
奇数阶反对称阵不满秩, 即满秩反对称阵阶数为偶数.

设A是一个n阶反对称阵, 其秩r(A) = r.
于是方程组AX = 0的基础解系有n-r个向量η1,..., η(n-r).
由这n-r个向量线性无关, 它们可扩充为全空间的一组基, 设为: ε1,..., εr, η1,..., η(n-r).
取矩阵T以它们为列向量, 则T可逆.
于是对B = T'AT, 有r(B) = r(T'AT) = r(A) = r.
由A' = -A, 有B' = T'A'T = -T'AT = -B, 即B反对称.
而由η1,..., η(n-r)是AX = 0的解, 可知B的后n-r列为0, 于是其下n-r行也为0.
B具有分块形式[C,0;0,0], 其中C为r阶反对称阵.
r(C) = r(B) = r, 故C为满秩反对称阵, r为偶数.
即得反对称阵的秩为偶数.
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