在平面直角坐标系XOY中,若二次函数f(x)=x^2+2x+b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点,（转问题补充）

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 08:20:09

在平面直角坐标系XOY中,若二次函数f(x)=x^2+2x+b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点,（转问题补充）
且经过三的交点的圆记为C.
（1）求实数b的取值范围 b

．（1）令x=0,得抛物线与y轴交点是（0,b）；
令f（x）=x²+2x+b=0,由题意b≠0且△＞0,解得b＜1且b≠0．
（2）设所求圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0
令y=0得x²+Dx+F=0这与x²+2x+b=0是同一个方程,故D=2,F=b．
令x=0得y²+Ey+F=0,方程有一个根为b,代入得出E=-b-1．
所以圆C的方程为x²+y²+2x-（b+1）y+b=0．
（3）圆C必过定点,证明如下：
假设圆C过定点（x0,y0）（x0,y0不依赖于b）,将该点的坐标代入圆C的方程,
并变形为x0²+y0²+2x0-y0+b（1-y0）=0（*）
为使（*）式对所有满足b＜1（b≠0）的b都成立,必须有1-y0=0,结合（*）式得
x0²+y0²+2x0-y0=0,
解得
{x0=0
y0=1
或{x0=-2
y0=1
PS 无论x0还是y0 0都要比xy写的小就像x1 y1一样.
解题方法
（1）由题意知,由抛物线与坐标轴有三个交点可知抛物线不过原点即b不等于0,然后抛物线与x轴有两个交点即令f（x）=0的根的判别式大于0即可求出b的范围；
（2）设出圆的一般式方程,根据抛物线与坐标轴的交点坐标可知：令y=0得到与f（x）=0一样的方程；令x=0得到方程有一个根是b即可求出圆的方程；
（3）设圆的方程过定点（x0,y0）,将其代入圆的方程得x0²+y0²+2x0-y0+b（1-y0）=0,因为x0,y0不依赖于b得取值,所以得到1-y0=0即y0=1,代入x0²+y0²+2x0-y0=0中即可求出定点的坐标．