已知椭圆c的中心在坐标原点,焦点在x轴上,长轴长为2根号3离心率为3分之根号3,经其左焦点F1的直线l交椭圆c于p q两

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 21:38:19

已知椭圆c的中心在坐标原点,焦点在x轴上,长轴长为2根号3离心率为3分之根号3,经其左焦点F1的直线l交椭圆c于p q两点,
1问：求椭圆c的标准方程,
2问：椭圆右焦点记为F2若F2P垂直于F2Q求直线l的方程

1、长轴=2a=2√3,则a=√3
离心率e=c/a=√3/3,所以c=1；
则b²=a²-c²=2
所以,椭圆方程为：x²/3+y²/2=1
2、由（1）F1(-1,0),F2(1,0)
设L：y=k(x+1),即y=kx+k；（注：斜率不存在的情况也要讨论一下,该题中是不成立的,舍去）
设P(x1,y1),Q(x2,y2)；
F2P⊥F2Q,则向量F2P⊥F2Q；
向量F2P=(x1-1,y1),F2Q=(x2-1,y2)；
向量F2P⊥F2Q,则：(x1-1)(x2-1)+y1y2=0
即：x1x2-(x1+x2)+y1y2+1=0,①
因为PQ在直线y=k(x+1)上,则y1=k(x1+1),y2=k(x2+1)；
所以：y1y2=k(x1+1)*k(x2+1)=k²x1x2+k²(x1+x2)+k²,代入①式
得：(k²+1)x1x2+(k²-1)(x1+x2)+k²+1=0,②
直线y=kx+k与椭圆x²/3+y²/2=1联列方程组,消去y,得：
(3k²+2)x²+6k²x+3k²-6=0
由韦达定理：x1+x2=-6k²/(3k²+2),x1x2=(3k²-6)/(3k²+2),代入②式,得：
(k²+1)(3k²-6)/(3k²+2)-6k²(k²-1)/(3k²+2)+k²+1=0
去分母：(k²+1)(3k²-6)-6k²(k²-1)+(k²+1)(3k²+2)=0
3k^4-3k²-6-6k^4+6k²+3k^4+5k²+2=0
8k²-4=0
k²=1/2
k=±√2/2
所以,L：y=±(√2/2)(x+1)