搜狗做题网一道数列题（数列/凹函数/凹凸性/二阶导数/函数）
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/27 20:57:38
一道数列题（数列/凹函数/凹凸性/二阶导数/函数）
Sn为an=n的前n项和,m+n=2p,请比较1/[(Sn)^2]+1/[(Sm)^2]与2/[(Sp)^2]的大小.
（我想把1/[(Sn)^2]换成一个函数,再证明它在1到无穷处为凹函数,再用凹函数不等式来证明题中左边大于右边.但这个的二阶导数太难求了,有没有好点的方法判断函数凹凸性.）
Sn为an=n的前n项和,m+n=2p,请比较1/[(Sn)^2]+1/[(Sm)^2]与2/[(Sp)^2]的大小.
（我想把1/[(Sn)^2]换成一个函数,再证明它在1到无穷处为凹函数,再用凹函数不等式来证明题中左边大于右边.但这个的二阶导数太难求了,有没有好点的方法判断函数凹凸性.）
a(n)=n,
s(n)=n(n+1)/2.
1/[s(n)]^2 = 4/[n(n+1)]^2,
f(x)= 4/[x(x+1)]^2 ,x>=1,f(x) > 0.
g(x)=ln[f(x)] = ln(4) - 2ln(x)-2ln(x+1)
g'(x) = f'(x)/f(x) = -2/x - 2/(x+1),
f'(x)=f(x)*g'(x) = 4/[x(x+1)]^2 *[-2/x - 2/(x+1)],
g''(x)=2/x^2 + 2/(x+1)^2 >0,
f''(x) = f'(x)*g'(x) + f(x)*g''(x) = f(x)*[g'(x)]^2 + f(x)*g''(x) = f(x){[g'(x)]^2 + g''(x)}>0
f(x) 为凸函数.
m>=1,n>=1时,
[f(m)+f(n)]/2 >= f[(m+n)/2] = f(p),
1/[s(n)]^2 + 1/[s(m)]^2 >= 2/[s(p)]^2.
s(n)=n(n+1)/2.
1/[s(n)]^2 = 4/[n(n+1)]^2,
f(x)= 4/[x(x+1)]^2 ,x>=1,f(x) > 0.
g(x)=ln[f(x)] = ln(4) - 2ln(x)-2ln(x+1)
g'(x) = f'(x)/f(x) = -2/x - 2/(x+1),
f'(x)=f(x)*g'(x) = 4/[x(x+1)]^2 *[-2/x - 2/(x+1)],
g''(x)=2/x^2 + 2/(x+1)^2 >0,
f''(x) = f'(x)*g'(x) + f(x)*g''(x) = f(x)*[g'(x)]^2 + f(x)*g''(x) = f(x){[g'(x)]^2 + g''(x)}>0
f(x) 为凸函数.
m>=1,n>=1时,
[f(m)+f(n)]/2 >= f[(m+n)/2] = f(p),
1/[s(n)]^2 + 1/[s(m)]^2 >= 2/[s(p)]^2.
一道数列题（数列/凹函数/凹凸性/二阶导数/函数）
补：一道数列题（数列/凹函数/凹凸性/二阶导数/函数）
一道高二函数数列综合题
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函数凹凸性：某函数二阶导数大于零时,有的教材写下凸,有的写下凹,请问考研答题时有没有统一要求,还是怎么写都行,意思对即可
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为什么一个函数的二阶导数大于0他原函数就是凹函数?
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