已知方程x2+bx+c=0与x2+cx+b=0各有两个整数根x1,x2,和x1′,x2′,且x1x2>0,x1′x2′>
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/12 21:31:34
已知方程x2+bx+c=0与x2+cx+b=0各有两个整数根x1,x2,和x1′,x2′,且x1x2>0,x1′x2′>0.
(1)求证:x1<0,x2<0,x1′<0,x2′<0;
(2)求证:b-1≤c≤b+1;
(3)求b,c的所有可能的值.
(1)求证:x1<0,x2<0,x1′<0,x2′<0;
(2)求证:b-1≤c≤b+1;
(3)求b,c的所有可能的值.
(1)由x1x2>0知,x1与x2同号.
若x1>0,则x2>0,这时-b=x1+x2>0,
所以b<0,
此时与b=x1′x2′>0矛盾,
所以x1<0,x2<0.
同理可证x1′<0,x2′<0.
(2)由(1)知,x1<0,x2<0,所以x1≤-1,x2≤-1.
由韦达定理c-(b-1)=x1x2+x1+x2+1=(x1+1)(x2+1)≥0,
所以c≥b-1.
同理有b-(c-1)=x1′x2′+x1′+x2′+1=(x1′+1)(x2′+1)≥0
所以c≤b+1,
所以b-1≤c≤b+1.
(3)由(2)可知,b与c的关系有如下三种情况:
(i)c=b+1.由韦达定理知
x1x2=-(x1+x2)+1,
所以(x1+1)(x2+1)=2,
所以
x1+1=−1
x2+1=−2或
x1+1=−2
x2+1=−1
解得x1+x2=-5,x1x2=6,所以b=5,c=6.
(ii)c=b.由韦达定理知
x1x2=-(x1+x2),
所以(x1+1)(x2+1)=1,
所以x1=x2=-2,从而b=4,c=4.
(iii)c=b-1.由韦达定理知
-(x1′+x2′)=x1′x2′-1
所以(x1′+1)(x2′+1)=2,
解得x1′+x2′=-5,x1′x2′=6,
所以b=6,c=5.
综上所述,共有三组(b,c)=(5,6),(4,4),(6,5).
若x1>0,则x2>0,这时-b=x1+x2>0,
所以b<0,
此时与b=x1′x2′>0矛盾,
所以x1<0,x2<0.
同理可证x1′<0,x2′<0.
(2)由(1)知,x1<0,x2<0,所以x1≤-1,x2≤-1.
由韦达定理c-(b-1)=x1x2+x1+x2+1=(x1+1)(x2+1)≥0,
所以c≥b-1.
同理有b-(c-1)=x1′x2′+x1′+x2′+1=(x1′+1)(x2′+1)≥0
所以c≤b+1,
所以b-1≤c≤b+1.
(3)由(2)可知,b与c的关系有如下三种情况:
(i)c=b+1.由韦达定理知
x1x2=-(x1+x2)+1,
所以(x1+1)(x2+1)=2,
所以
x1+1=−1
x2+1=−2或
x1+1=−2
x2+1=−1
解得x1+x2=-5,x1x2=6,所以b=5,c=6.
(ii)c=b.由韦达定理知
x1x2=-(x1+x2),
所以(x1+1)(x2+1)=1,
所以x1=x2=-2,从而b=4,c=4.
(iii)c=b-1.由韦达定理知
-(x1′+x2′)=x1′x2′-1
所以(x1′+1)(x2′+1)=2,
解得x1′+x2′=-5,x1′x2′=6,
所以b=6,c=5.
综上所述,共有三组(b,c)=(5,6),(4,4),(6,5).
已知方程x2+bx+c=0与x2+cx+b=0各有两个整数根x1,x2,和x1′,x2′,且x1x2>0,x1′x2′>
1、 已知方程x2+bx+c=0及x2+cx+b=0分别有两个正整数根x1,x2和x3,x4,且x1x2>0,x3x4>
参数二次方程已知方程x²+bx+c=0与x²+cx+b=0各有两个整数根x1,x2和x1’,x2’,
已知方程x^2+bx+c=0及x^2+cx+b=0分别有2个整数根 x1 x2和x3 x4且x1×x2>0 x3×x4>
已知关于x的一元二次方程x^2+bx+c=x,有两个实数根为X1,X2,且满足x1>0,x2-x1>1.
一个一元二次方程的两个根为X1.X2,且满足X1X2+X1+X2+2=O,X1X2-2[X1+X2]+5=0,求这个方程
已知X1 X2为方程5X平方-3X-1=0且X1>X2求X1-X2
已知:x1,x2是方程ax²+bx+c=0(a>0,b²-4ac≥0)的两个根,求证:|x1-x2|
已知a大于b大于c,且a+b+c=0,方程ax^2+bx+c=0的两个根为x1,x2,若x1^2+x1*x2+x2^2=
已知方程ax^2+bx+c(a≠0)有实根x1和x2,设p=x1^2010+x2^2010,q=x1^2009+x2^2
设x1与x2分别是实系数方程2x2+bx+c=0和2x2-bx-c=0一个实根,且x1≠x2,x1≠0,x2≠0,
已知x1,x2是方程2x+3x-4=0的两个根,那么x1+x2= x1x2= x1+x2=