搜狗做题网在定义域每一点都连续而不可导的函数（分形几何图形除外）
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 10:30:14
在定义域每一点都连续而不可导的函数（分形几何图形除外）
可以肯定的是这种函数是存在的.
因为从可导的定义来说,左右导数相等,是函数可导的充要条件,显然这和每一点都连续是不等价的.
至于特列,普通函数很难具有这个性质,还是大数学家们厉害,居然构造出了一个典型的函数：
维尔斯特拉斯函数,即Weierstrass function.
微积分的教程中提到过处处连续处处不可微的函数,最典型的例子便是维尔斯特拉斯函数.
直观地看,除了孤立的点之外,似乎连续的函数都应该可导.古典观念认为,连续函数的不可导的点集合在某种意义上应当很小,比如说,测度为0.早期的数学家包括高斯都认为这是对的,一些书籍甚至把此看法当作定理,写了证明（现在看来,显然是不严格的,比如说他们可能只考虑了初等函数）.这可能是因为人们很少深入接触过,而且也很难画出或展现出那些变化极其复杂精细,拥有大量不可导点的函数图像.总之,当时的人们对点集结构,实数理论等等的认识还很肤浅.
德国数学家维尔斯特拉斯（Karl Weierstrass,1815－1897）于1872年(可能在1861年已经构造,但1872年才正式发表）利用函数项级数构造出了人们认识到的第一个处处连续而处处不可导的函数,为上述猜测做了一个否定的终结：
f (x) = ∑ b^n cos (a^n π x) ,这里的 ∑ 表示对n取一切非负整数求和,而a为一正奇数,0
因为从可导的定义来说,左右导数相等,是函数可导的充要条件,显然这和每一点都连续是不等价的.
至于特列,普通函数很难具有这个性质,还是大数学家们厉害,居然构造出了一个典型的函数：
维尔斯特拉斯函数,即Weierstrass function.
微积分的教程中提到过处处连续处处不可微的函数,最典型的例子便是维尔斯特拉斯函数.
直观地看,除了孤立的点之外,似乎连续的函数都应该可导.古典观念认为,连续函数的不可导的点集合在某种意义上应当很小,比如说,测度为0.早期的数学家包括高斯都认为这是对的,一些书籍甚至把此看法当作定理,写了证明（现在看来,显然是不严格的,比如说他们可能只考虑了初等函数）.这可能是因为人们很少深入接触过,而且也很难画出或展现出那些变化极其复杂精细,拥有大量不可导点的函数图像.总之,当时的人们对点集结构,实数理论等等的认识还很肤浅.
德国数学家维尔斯特拉斯（Karl Weierstrass,1815－1897）于1872年(可能在1861年已经构造,但1872年才正式发表）利用函数项级数构造出了人们认识到的第一个处处连续而处处不可导的函数,为上述猜测做了一个否定的终结：
f (x) = ∑ b^n cos (a^n π x) ,这里的 ∑ 表示对n取一切非负整数求和,而a为一正奇数,0
在定义域每一点都连续而不可导的函数（分形几何图形除外）
函数可导与连续的关系,函数在某点不可导,它连续吗,急
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函数在该点连续,但在该点的左右导数不相等 但为什么函数不可导
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