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1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2用数学归纳法证明

来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/14 01:58:39
1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2用数学归纳法证明
用数学归纳法证明1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2
1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2用数学归纳法证明
当n=1时,左边=1³=1,右边=1²=1,等式成立.
假设当n=k时,等式成立,即
1³+2³+3³+...+k³=(1+2+3+...+k)²=k²(k+1)²/4,
则当n=k+1时,
1³+2³+3³+...+k³+(k+1)³=k²(k+1)²/4+(k+1)³=[(k+1)²/4]×[k²+4(k+1)]=[(k+1)²/4]×(k+2)²=(k+1)²(k+2)²/4
=(k+1)²[(k+1)+1]²/4=[1+2+3+...+k+(k+1)]²,
所以,等式也成立,
综上,对一切正整数n,等式1³+2³+3³+...+n³=(1+2+3+...+n)²都成立.
再问： k²(k+1)²/4怎得来的??
再答： 等差数列求和：1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
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