搜狗做题网A是m×n矩阵,证明A^HA和AA^H都是半正定埃尔米特矩阵
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/01 15:45:16
A是m×n矩阵,证明A^HA和AA^H都是半正定埃尔米特矩阵
(1) 因为A是m×n矩阵,
所以A^H 是n×m矩阵,A^HA 是n×n矩阵,
而且(A^HA)^H = A^H(A^H)^H = A^HA.
又因为对于任意的n维非零列向量a,有
a^H(A^HA)a = (Aa)^H(Aa) = ||Aa||^2 大于或等于 0,
因此A^HA是半正定埃尔米特矩阵.
(2) 因为A是m×n矩阵,
所以A^H 是n×m矩阵,AA^H 是m×m矩阵,
而且(AA^H)^H = (A^H)^HA^H = AA^H.
又因为对于任意的m维非零列向量b,有
b^H(AA^H)b = (A^Hb)^H(A^Hb) = ||A^Hb||^2 大于或等于 0,
因此AA^H是半正定埃尔米特矩阵.
所以A^H 是n×m矩阵,A^HA 是n×n矩阵,
而且(A^HA)^H = A^H(A^H)^H = A^HA.
又因为对于任意的n维非零列向量a,有
a^H(A^HA)a = (Aa)^H(Aa) = ||Aa||^2 大于或等于 0,
因此A^HA是半正定埃尔米特矩阵.
(2) 因为A是m×n矩阵,
所以A^H 是n×m矩阵,AA^H 是m×m矩阵,
而且(AA^H)^H = (A^H)^HA^H = AA^H.
又因为对于任意的m维非零列向量b,有
b^H(AA^H)b = (A^Hb)^H(A^Hb) = ||A^Hb||^2 大于或等于 0,
因此AA^H是半正定埃尔米特矩阵.
A是m×n矩阵,证明A^HA和AA^H都是半正定埃尔米特矩阵
设A,B是正定埃尔米特矩阵,若AB是埃尔米特矩阵,证明AB正定.
设A,A-E都是n阶正定矩阵,证明E-A^-1为正定矩阵
A是n阶正定矩阵,证明A的n次方矩阵也是正定矩阵
证明：对任意m*n矩阵A,A'A以及AA'都是对称矩阵.
已知A是n阶正定矩阵,证明A的伴随矩阵A*也是正定矩阵.
设A,B分别是n,m阶实对称矩阵,且B是正定矩阵.证明,存在m*n非零矩阵H,使B-HAH'成为正定矩阵.
设A,B都是n阶实矩阵,其中A正定,B半正定.证明：det(A+B)>det(A)
A是n阶正定矩阵,证明A的伴随矩阵也是正定矩阵
证明:如果a是n阶正定矩阵,则a*及a+a*也是正定矩阵
设A正定矩阵,证明A^m为正定矩阵.
设A是m*n的实矩阵,且rank(A)=n,证明A^T A是正定矩阵