搜狗做题网如何证明代数数集与有理数集的势相同,而超越数集的势与实数集的势相同.
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/25 10:53:35
如何证明代数数集与有理数集的势相同,而超越数集的势与实数集的势相同.
有理数集可数,这个应该知道.
而代数数是有理系数多项式的根.
而对于一个n次有理系数多项式来,他的根只有有限多个.
而所有n次有理系数多项式与Q^n等式,所以是可数的.
所以,对于固定的n,所有根的集合是可数个有限集的并是可数的.
再让n跑遍所有自然数,得到代数数集是可数个可数集的并.所以是可数的.
于是与有理数等势.
(超越数集)的势=(超越数集∪代数数集)的势= (实数集)的势
左边等式成立的理由是：一个无限集并上一个可数集,不改变势
再问： “所有n次有理系数多项式与Q^n等式”是什么意思？
再答： 等势，写错。Q^n指有理数Q的n次笛卡尔积。对应方式是利用多项式系数对应Q^n一个点。这是一单射，说明n次有理系数多项式至多可数。而n次有理系数多项式有无限个，说明至少可数。
而代数数是有理系数多项式的根.
而对于一个n次有理系数多项式来,他的根只有有限多个.
而所有n次有理系数多项式与Q^n等式,所以是可数的.
所以,对于固定的n,所有根的集合是可数个有限集的并是可数的.
再让n跑遍所有自然数,得到代数数集是可数个可数集的并.所以是可数的.
于是与有理数等势.
(超越数集)的势=(超越数集∪代数数集)的势= (实数集)的势
左边等式成立的理由是：一个无限集并上一个可数集,不改变势
再问： “所有n次有理系数多项式与Q^n等式”是什么意思？
再答： 等势，写错。Q^n指有理数Q的n次笛卡尔积。对应方式是利用多项式系数对应Q^n一个点。这是一单射，说明n次有理系数多项式至多可数。而n次有理系数多项式有无限个，说明至少可数。