如何证明双曲线已知点A、B关于原点对称,平面内动点P满足到原点O的距离是P到A、B的距离的等比中项,那么P的轨迹是什么

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/18 10:57:53

如何证明双曲线
已知点A、B关于原点对称,平面内动点P满足到原点O的距离是P到A、B的距离的等比中项,那么P的轨迹是什么

说双曲线是不准确的,准确地说P的轨迹是等轴双曲线.
如果A、B没有落在坐标轴上你这就是一般的双曲线方程,初等知识解决不了,需要线性代数做知识支持.你可以把问题简化,设A(-c,0),B(c,0),P(x,y),再推广至一般情况,那么问题就很容易解决了.
带根号是显然的.只须平方一次即可,并不复杂.
|PO|=√(x^2+y^2)
|PA|=√[(x+c)^2+y^2]
|PB|=√[(x-c)^2+y^2]
|PO|为|PA||PB|等比中项,即|PO|^2=|PA||PB|
即x^2+y^2=√{(x+c)^2(x-c)^2+y^2[(x+c)^2+(x-c)^2]+y^4},
两侧同时平方,得x^4+y^4+2x^2y^2=x^4+c^4-2x^2c^2+2x^2y^2+2c^2y^2+y^4,
整理得2x^2/c^2-2y^2/c^2=1,故P的轨迹为等轴双曲线,a=b=√2c/2.

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