搜狗做题网【高分100分】求解几个高等数学题目答案（题目见补充说明）之二
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/15 20:39:46
【高分100分】求解几个高等数学题目答案（题目见补充说明）之二
需带步骤：
1、在抛物线y=x^2上求一点P,使它到直线y=x-2的距离最短.
2、将二重积分I=∫[0到1]dy∫[y到1]e^(-x)dx交换积分次序,并计算积分值.
3、计算二重积分∫[-1到1]dx∫[0到（1-x^2)^(1/2)(即根号下1-x的平方)]【e^(-y)*sinx+(x^2+y^2)^(1/2)】dy
需带步骤：
1、在抛物线y=x^2上求一点P,使它到直线y=x-2的距离最短.
2、将二重积分I=∫[0到1]dy∫[y到1]e^(-x)dx交换积分次序,并计算积分值.
3、计算二重积分∫[-1到1]dx∫[0到（1-x^2)^(1/2)(即根号下1-x的平方)]【e^(-y)*sinx+(x^2+y^2)^(1/2)】dy
1.因为抛物线y=x^2与直线y=x-2不相交,故距离最短点处（x0,y0）斜率应该等于直线斜率1,故2*x0=1,所以x0=1/2,y0=1/4,即所求点为（1/2,1/4）
2.I=∫[0到1]dx∫[0到x]e^(-x)dy=1-2/e
3.原式=I1+I2,其中
I1=∫[-1到1]dx∫[0到（1-x^2)^(1/2)]【e^(-y)*sinx】dy
I2=∫[-1到1]dx∫[0到（1-x^2)^(1/2)【(x^2+y^2)^(1/2)】dy
由于积分区域（x轴以上的单位圆域）关于y轴对称,被积函数关于x为奇函数,故I1=0
对积分I2实行极坐标变换,很容易得I2==∫[0到π]dθ∫[0到1](r^2)dr=π/3,
故原式=π/3
2.I=∫[0到1]dx∫[0到x]e^(-x)dy=1-2/e
3.原式=I1+I2,其中
I1=∫[-1到1]dx∫[0到（1-x^2)^(1/2)]【e^(-y)*sinx】dy
I2=∫[-1到1]dx∫[0到（1-x^2)^(1/2)【(x^2+y^2)^(1/2)】dy
由于积分区域（x轴以上的单位圆域）关于y轴对称,被积函数关于x为奇函数,故I1=0
对积分I2实行极坐标变换,很容易得I2==∫[0到π]dθ∫[0到1](r^2)dr=π/3,
故原式=π/3