数列{an}满足的前n项和Sn=2n-an,n∈N* (1)计算数列{an}的前4项; (2)猜想an的表达式,并证明;
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/02 01:41:32
数列{an}满足的前n项和Sn=2n-an,n∈N* (1)计算数列{an}的前4项; (2)猜想an的表达式,并证明;
(1)
S1=a1=2-a1 2a1=2 a1=1
S2=a1+a2=1+a2=4-a2 2a2=3 a2=3/2
S3=a1+a2+a3=1+ 3/2 +a3=6-a3 2a3=7/2 a3=7/4
S4=a1+a2+a3+a4=1+3/2+7/4+a4=8-a4 2a4=15/4 a4=15/8
(2)
变形:a1=1=2^0/2^0,a2=3/2=(2^0+2^1)/2^1,a3=7/4=(2^0+2^1+2^2)/2^2
a4=15/8=(2^0+2^1+2^2+2^3)/2^3
猜想:an=[2^0+2^1+2^2+...+2^(n-1)]/2^(n-1)=[(2^n -1)/(2-1)]/2^(n-1)=2- 1/2^(n-1).
证:
a1=2-1/2^0=2-1=1,与第(1)问计算结果相符,表达式成立.
假设当n=k(k自然数,且大于等于1)时,表达式成立,即ak=2- 1/2^(k-1),则当n=k+1时,
S(k+1)=2(k+1)-a(k+1)
Sk=2k-ak
S(k+1)-Sk=a(k+1)=2(k+1)-a(k+1)-2k+ak
2a(k+1)=2+ak=2+2-1/2^(k-1)=4-1/2^(k-1)
a(k+1)=2-1/2^k=2- 1/2^[(k+1)-1],表达式同样成立.
综上,得数列{an}的通项公式为an=2- 1/2^(n-1).
S1=a1=2-a1 2a1=2 a1=1
S2=a1+a2=1+a2=4-a2 2a2=3 a2=3/2
S3=a1+a2+a3=1+ 3/2 +a3=6-a3 2a3=7/2 a3=7/4
S4=a1+a2+a3+a4=1+3/2+7/4+a4=8-a4 2a4=15/4 a4=15/8
(2)
变形:a1=1=2^0/2^0,a2=3/2=(2^0+2^1)/2^1,a3=7/4=(2^0+2^1+2^2)/2^2
a4=15/8=(2^0+2^1+2^2+2^3)/2^3
猜想:an=[2^0+2^1+2^2+...+2^(n-1)]/2^(n-1)=[(2^n -1)/(2-1)]/2^(n-1)=2- 1/2^(n-1).
证:
a1=2-1/2^0=2-1=1,与第(1)问计算结果相符,表达式成立.
假设当n=k(k自然数,且大于等于1)时,表达式成立,即ak=2- 1/2^(k-1),则当n=k+1时,
S(k+1)=2(k+1)-a(k+1)
Sk=2k-ak
S(k+1)-Sk=a(k+1)=2(k+1)-a(k+1)-2k+ak
2a(k+1)=2+ak=2+2-1/2^(k-1)=4-1/2^(k-1)
a(k+1)=2-1/2^k=2- 1/2^[(k+1)-1],表达式同样成立.
综上,得数列{an}的通项公式为an=2- 1/2^(n-1).
已知数列(an)的前n项和为Sn,满足an+Sn=2n,证明数列(an-2)为等比数列并求出an
数列{an}的前n项和Sn满足:Sn =2an-3n(n∈N*) 1.证明{an+3}是等比数列
数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=2an-3n(n属于N*)
数列an的前n项和Sn满足:Sn=2an-3n
数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-3n(n∈N)(1)证明数列an+3是等比数列,(2)求数列an的通项公式
数列通式问题数列an的an=an-1+2^n(n>2 n∈N*)则它的通项公式数列an的前n项和Sn满足an=2-2Sn
已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+(-1)n(n∈N*)
设数列{an}的前n项和为Sn,并且满足2Sn=an²+n,an>0.(1)求a1,a2,a3.(2)猜想{a
已知数列{an}中,an=(2n+1)3n,求数列的前n项和Sn
数列an的前n项和为Sn=2^n-1,设bn满足bn=an+1/an,判断并证明bn 的单调性
已知数列{an}的前n项和Sn=n^2an(n≥2),而a1=1,通过计算a2,a3,猜想an等于?
数列{an}的前n项和记为Sn,n,an,Sn成等差数列(n∈N*),证明:(Ⅰ)数列{an+1}为等比数列