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如图,在RT△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分线交BC于点E,CD⊥AB于点D,交AE与点M,F是ME的中点.

来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/12 19:35:34
如图,在RT△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分线交BC于点E,CD⊥AB于点D,交AE与点M,F是ME的中点.求证:CF⊥AE

如图,在RT△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分线交BC于点E,CD⊥AB于点D,交AE与点M,F是ME的中点.
证明:
过E作EH⊥AB于H,
∵AE平分∠BAC,∠ECA=∠EHA=90°
∴∠EAC=∠EAH,∠ECA=∠EHA,AE=AE
∴△EAC≌△EAH(AAS)
∴∠CEA=∠HEA,
又∵CD⊥AB
∴EH‖CD
∴∠CME=∠HEA=∠CEA
∴CM=CE
即△CME是等腰三角形
∵F是ME的中点
∴CF=CF,MF=EF,CM=CE
∴△CFM≌△CFE(SSS)
∴∠CFM=∠CFE=90°
∴CF⊥ME
∴CF⊥AE
——寒冰烈