已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,若M,N分别是AB1,BB1的中点,求AM与CN

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 15:53:41

已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,若M,N分别是AB1,BB1的中点,求AM与CN
所成角的余弦

∵M、N分别是A1B1、BB1的中点,而A1B1＝BB1＝1,∴B1M＝B1N＝1/2.
∵B1E是MA平移所得,∴B1E∥MA、B1E＝MA,∴AEB1M是平行四边形,∴AE＝B1M＝1/2,
∴BE＝AB－AE＝1－1/2＝1/2.
∵B1F是NC平移所得,∴B1F∥NC、B1F＝NC,∴CFB1N是平行四边形,∴FC＝B1N＝1/2.
∵ABCD－AB1C1D1是正方体,∴ABCD是正方形,∴BE⊥BC,
∴CE^2＝BE^2＋BC^2＝（1/2）^2＋1＝5/4.
∴FC⊥平面ABCD,∴FC⊥CE,∴EF＝√（FC^2＋CE^2）＝√［（1/2）^2＋5/4］＝√6/2.
容易求出：B1E＝B1F＝√［（1/2）^2＋1］＝√5/2.
∴sin［（1/2）∠EB1F］＝（1/2）EF/B1E＝（1/2）×（√6/2）/（√5/2）＝√6/（2√5）.
∴cos∠EB1F＝1－2｛sin［（1/2）∠EB1F］｝^2＝1－2×6/（4×5）＝2/5.
∵B1E∥MA、B1F∥NC,∴∠EB1F＝AM与CN所成的角.
∴AM与CN所成角的余弦值是2/5.