搜狗做题网1月23日数学22题请教：
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/05 02:07:20
1月23日数学22题请教：
请老师帮忙详细解答，非常感谢！
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解题思路： 前两问都利用导数；第三问，利用(1)中结论产生的不等式，对数列进行放缩法变形，归结为等比数列的求和问题。
解题过程：
解：(1) 由 f(x)＝lnx－x＋1， 得
（x＞0），
可见，在(0, 1)、(1, +∞)上，分别有f ’(x)＞0、＜0，
∴ f(x)在(0, 1)、(1, +∞)上依次为单调递增、单调递减；
(2) 构造函数
，
求导，得
（m＞0），
可见，在
上，分别有h ’(x)＞0、＜0，
∴ h(x)在上依次为单调递增、单调递减，
∴ 在x＝
处，h(x)取得它在(0, +∞)上的最大值
且 当
时，均有
， 所以：
① 若
，即 
， 则 h(x)有两个零点；
② 若
，即 
， 则 h(x)有一个零点；
③ 若
，即 
， 则 h(x)没有零点，
综上所述，得以下最后的结论：
① 若， 则 f(x)与g(x)的图象有两个交点；
② 若， 则f(x)与g(x)的图象有一个交点；
③ 若， 则f(x)与g(x)的图象没有交点；
(3) 当m＝2时，
，又∵ f(x)＝lnx－x＋1
∴
，
由
，可知 
， 得 
，
假设
， 则得 
，
由数学归纳法原理可知
（n∈N*）恒成立，
又由(1)可知，f(x)＝lnx－x＋1≤f(1)＝0恒成立， ∴ lnx≤x－1，
∴
，
∴
， ∴ 
，
又
，
∴
【类比等比数列的知识，但这里换成了“≥” 】，
∴
．
解题过程：
解：(1) 由 f(x)＝lnx－x＋1， 得
（x＞0），可见，在(0, 1)、(1, +∞)上，分别有f ’(x)＞0、＜0，
∴ f(x)在(0, 1)、(1, +∞)上依次为单调递增、单调递减；
(2) 构造函数
，求导，得
（m＞0），可见，在
上，分别有h ’(x)＞0、＜0，∴ h(x)在
上依次为单调递增、单调递减，∴ 在x＝
处，h(x)取得它在(0, +∞)上的最大值且 当
时，均有， 所以：① 若
，即 ， 则 h(x)有两个零点；② 若
，即 ， 则 h(x)有一个零点；③ 若
，即 ， 则 h(x)没有零点，综上所述，得以下最后的结论：
① 若
， 则 f(x)与g(x)的图象有两个交点；② 若
， 则f(x)与g(x)的图象有一个交点；③ 若
， 则f(x)与g(x)的图象没有交点；(3) 当m＝2时，
，又∵ f(x)＝lnx－x＋1∴
，由
，可知 ， 得 ， 假设
， 则得 ， 由数学归纳法原理可知
（n∈N*）恒成立， 又由(1)可知，f(x)＝lnx－x＋1≤f(1)＝0恒成立， ∴ lnx≤x－1，
∴
，∴
， ∴ ，又
， ∴
【类比等比数列的知识，但这里换成了“≥” 】，∴
．