搜狗做题网用詹森不等式证明一个不等式成立
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/05 17:18:39
用詹森不等式证明一个不等式成立
设ai > 0(i = 1,2,...,n)
证明：
n / (1/a1 + 1 / a2 + ...+ 1 / an)
设ai > 0(i = 1,2,...,n)
证明：
n / (1/a1 + 1 / a2 + ...+ 1 / an)
当ai全相等时,n / (1/a1 + 1 / a2 + ... + 1 / an) = (a1*a2*...*an)^(1/n) = (a1+a2+...+an) / n
当ai不全相等时,考虑f(x)=lnx,则f`(x)=1/x>0,f``(x)=-1/x^20),则f(x)严格递增且严格上凸.
由严格上凸,则有杰森不等式：
f((x1+x2+...+xn)/n)>=(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n
即ln（(x1+x2+...+xn)/n）>=(lnx1+...+lnxn)/n=ln（x1x2...xn）^(1/n)
又由f(x)严格递增知(x1+x2+...+xn)/n>（x1x2...xn）^(1/n)
综合知(x1+x2+...+xn)/n>=（x1x2...xn）^(1/n)
由ai>0,则1/ai>0
令xi=ai,则(a1*a2*...*an)^(1/n)
当ai不全相等时,考虑f(x)=lnx,则f`(x)=1/x>0,f``(x)=-1/x^20),则f(x)严格递增且严格上凸.
由严格上凸,则有杰森不等式：
f((x1+x2+...+xn)/n)>=(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n
即ln（(x1+x2+...+xn)/n）>=(lnx1+...+lnxn)/n=ln（x1x2...xn）^(1/n)
又由f(x)严格递增知(x1+x2+...+xn)/n>（x1x2...xn）^(1/n)
综合知(x1+x2+...+xn)/n>=（x1x2...xn）^(1/n)
由ai>0,则1/ai>0
令xi=ai,则(a1*a2*...*an)^(1/n)