搜狗做题网问一条高数题目.怎么求图中的积分.
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/12 17:50:09
问一条高数题目.怎么求图中的积分.
图在这里.
图在这里.
设√[(1-ρ²)/(1+ρ²)]=t,则ρdρ=-2tdt/(t²+1)²
∴原式=-2∫(1,0)t²dt/(t²+1)² (∫(1,0)表示从1到0积分,其它类同)
=2∫(0,1)[1/(t²+1)-1/(t²+1)²]dt
=2[arctant]│(0,1)-2∫(0,1)dt/(t²+1)²
=2(π/4-0)-2∫(0,π/4)cos²θdθ (在积分中,令t=tanθ)
=π/2-∫(0,π/4)(1+cos(2θ))dθ
=π/2-[θ-sin(2θ)/2]│(0,π/4)
=π/2-(π/4-1/2)
=π/4-1/2.
再问： 一定要整个换元吗？有没有其他方法？
∴原式=-2∫(1,0)t²dt/(t²+1)² (∫(1,0)表示从1到0积分,其它类同)
=2∫(0,1)[1/(t²+1)-1/(t²+1)²]dt
=2[arctant]│(0,1)-2∫(0,1)dt/(t²+1)²
=2(π/4-0)-2∫(0,π/4)cos²θdθ (在积分中,令t=tanθ)
=π/2-∫(0,π/4)(1+cos(2θ))dθ
=π/2-[θ-sin(2θ)/2]│(0,π/4)
=π/2-(π/4-1/2)
=π/4-1/2.
再问： 一定要整个换元吗？有没有其他方法？