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关于【线性代数】【正惯性系数】

来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/13 05:43:50
关于【线性代数】【正惯性系数】
求证：对于任意两个实对称方阵A、B,那么A+B的正惯性系数不大于A与B的正惯性系数之和.
关于【线性代数】【正惯性系数】
首先,利用惯性定理可以不妨设A已经是合同标准型A=diag{I_p,-I_q,0}
然后把A拆成A1=diag{I_p,0,0},A2=diag{0,-I_q,0}
那么对任何k都有A2+B的第k大特征值不超过B的第k大特征值(可以用Courant-Fischer极大极小定理证明)
所以A2+B的正惯性指数不超过B的正惯性指数
然后A1的后两块就没必要细分了,只需划分成
I_p 0
0 0
A2+B相应地划分成
B1 B2^T
B2 B3
由Cauchy交错定理,B3的正惯性指数不超过A2+B的正惯性指数
再用一次Cauchy交错定理,A1+A2+B的正惯性指数不超过B3的正惯性指数+p
再问： ��� �����A1 A2 ������ʽ��ô�ܸ�һ��ȫΪ��һ��ȫΪ����?
再答： ��ͬ�任�ı�׼���Լ����Զ�����֪���İ�
再问： �� ���û�����⡣����
再答： ��ȻA�DZ�׼��, ���A1+A2��ʲô������
再问： ����û������� ���Dz��ܸ�A1 A2����ʽ�� ���A1��ͬ����p+1��1 1��-1 ,A2��ͬ����q+1��-1 1��1 �أ�
再答： ԭ������ľ�����A��B ������ֻ��A�Խǻ������, û��Ҫ��A��B��ͬʱ��ͬ�Խǻ�
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